miércoles, 12 de diciembre de 2007
jueves, 1 de noviembre de 2007
Caracterización de la Economía Venezolana
Este material aplica a la clase de economia de la UNEFA
Venezuela es un país que hasta finales de los años setenta del siglo XX exhibió una entre mediana y alta tasa de crecimiento de su PIB. Si tomamos el período que comprende prácticamente todo el siglo XX (1900-96) comprobamos que la tasa anual de crecimiento de la economía venezolana se situó en alrededor de 5,9%, superior en casi dos puntos a la tasa registrada por las principales economías latinoamericanas (4,3%). Este relevante desempeño económico tuvo efectos positivos en la modernización del país, lo cual se reflejó en el incremento sostenido de: la tasa de urbanización, la dotación de infraestructura, en el mejoramiento de los indicadores de calidad de vida, como el incremento de la tasa de alfabetización, de la expectativa de vida y en el aumento del nivel de ingreso per cápita. Las tasas de crecimiento para diferentes periodos del Cuadro 1 corroboran lo dicho.
Este crecimiento consistente contrasta agudamente con lo que ha sido la evolución del PIB venezolano desde finales de la década de los setenta, caracterizado por su comportamiento irregular, signado por una alta volatilidad, lo cual refleja la pérdida de dinamismo económico y el agotamiento del modelo rentista petrolero sobre el que se ha sostenido la economía venezolana. Durante la llamada “década perdida” para América Latina (1980-1990) la tasa de crecimiento anual promedio del PIB venezolano fue negativa (-0,7%). Durante el quinquenio de 1990-1995 esta tasa experimentó un repunte de 2,8%, para luego volver a retroceder en el período 1995-2002 donde el PIB experimentó un crecimiento nulo (-0,1%) (Cuadro 2). Este errático desempeño representa la más alta volatilidad del crecimiento del PIB entre los países de la región. Venezuela exhibió una volatilidad de 5% durante el período 1981-1996, frente a 1,9% para el resto de Latinoamérica en el mismo período (Thorp, 1998) [1].
Cuadro 1. Tasa de crecimiento del PIB (diferentes períodos hasta 1981)
Fuente: CEPAL (1996), Thorp (1998).
Fuente: BCV (datos disponibles en: http://www.bcv.org.ve/)
Las expectativas para los próximos años parecen indicar que Venezuela se encamina hacia una economía más regulada en el nivel de las tasas de interés y el tipo de cambio, junto a un sistema de precios administrados para los rubros más sensibles en su impacto sobre la tasa de inflación. Aunado a ello, existe la percepción entre los inversionistas extranjeros que el clima para realizar inversiones en Venezuela está fuertemente influido por medidas de carácter unilateral que reflejan inseguridad jurídica y exceso de regulaciones para realizar dichas inversiones. Hay que tomar en cuenta, además, que la capacidad de absorción de gasto de la economía venezolana es limitada, por lo cual las presiones inflacionarias se convierten en una variable recurrente en épocas de boom de ingresos petroleros. La coordinación de política macroeconómica dirigida a sostener el necesario equilibrio fiscal y monetario se seguirá enfrentando al dilema de evitar la sobrevaluación del tipo de cambio real, que introduce un sesgo anticompetitivo a las mercancías exportables por la industria venezolana y encarece relativamente los bienes no transables, generando una matriz propicia para que se presente una espiral de alza de precios y salarios en desmedro del aumento del ingreso real.
En estos términos, la política económica del actual gobierno, a pesar que parte de postulados diferentes sobre el tipo de sistema económico que se persigue, fundamentado en una distribución más equitativa de las oportunidades y del ingreso, parece responder en cuanto a su acción sobre la actividad económica a orientaciones cuyos resultados fueron característicos de los obtenidos por gobiernos de las tres últimas décadas del siglo XX. Por esta razón, se estaría frente a un escenario similar a lo ocurrido en las décadas de los setenta, ochenta y noventa respecto a los cambios en el crecimiento del producto, la evolución del tipo de cambio real y la inflación, los cuales revelan un patrón característico donde las autoridades no tienen un compromiso con una estrategia de mediano plazo. De allí que, según Velásquez (2001), no resulte infrecuente una política permisiva de la sobrevaluación del tipo de cambio por períodos muy largos, lo cual prefigura un escenario donde en algún momento sobrevendrá, inevitablemente, una gran crisis, una gran devaluación y un doloroso y complejo proceso de ajuste.
Ahora bien, para que se vuelva a cumplir este escenario recurrente de la economía venezolana, la prospectiva para los precios del petróleo en los próximos años tendrá que reducirse sustancialmente a la baja. De ocurrir lo contrario y mantenerse el actual nivel de precios, aún bajo un escenario de producción petrolera por debajo del tope establecido para Venezuela por la OPEP, el margen de maniobra para lograr sostenibilidad fiscal del gobierno probablemente seguirá siendo amplio. En principio la medida de adoptar un régimen de control del tipo de cambio desde el año 2003, dificultando la salida masiva de capitales, no ha estado reñida con el compromiso de corregir periódicamente su sobre valuación. Por otra parte, el incremento sostenido de las reservas internacionales, aunado al férreo cumplimiento de los compromisos de deuda externa, ha colocado el riesgo país en una posición muy ventajosa con respecto a posibles operaciones de endeudamiento externo. Sin embargo, se ha señalado el explosivo crecimiento de la deuda pública interna y la consiguiente carga fiscal que ésta acarrea, como una situación que puede comprometer en el mediano plazo la sostenibilidad fiscal.
Si bien las políticas públicas implementadas en los últimos años hacen énfasis en programas sociales orientados a cubrir necesidades de los pobres postergadas por décadas, se ha puesto en duda la sostenibilidad de este modelo. Por una parte, a pesar que desde la perspectiva del financiamiento del crecimiento económico, el elemento determinante es que el ahorro se genera y está disponible, el problema son los mecanismos de asignación y transmisión de ese ahorro al proceso de inversión. Por otra parte, a pesar del fuerte dinamismo mostrado por el PIB no petrolero, paradójicamente se ha venido deteriorando la base institucional que posibilitaría acciones de política económica generadas a partir de la participación y el consenso entre entes públicos y privados, trabajando de manera conjunta y armónica hacia una estrategia de crecimiento y desarrollo que sea compartida por la mayoría de los agentes económicos.
Ciertamente se observan en los ultimos meses, un espiral inflacionario, ciertamente determinado por el control de precios de los ultimos años y la aplicacion en el último año de el ITF, el cual determinó un efecto cascada. Ademas la reconversión monetaria en un periodo de alta liquidez y una oferta constreñida han resultado en un efecto redondeo devastador, lo cual sumado a planes poco realistas para el crecimiento de la oferta, nos sugieren ajustes macroeconómicos en el futuro cercano de indudable crudeza.
Notas
[1] El trabajo de Agenor et al. (1999) citado por Sáez (2006) que analiza las principales propiedades de los ciclos económicos en las economías emergentes presenta suficiente evidencia empírica para señalar que la volatilidad del producto varía considerablemente entre los países.
[2] En Venezuela, tomando como referencia el período 1999-2005 con valores a precios constantes de 1997 y a partir de cálculos propios se colige que el consumo privado se ha comportado en un rango que representa aproximadamente entre 55% (1999) y 63% (2005) del PIB. Véase los datos disponibles en: http://www.bcv.org.ve/
Bibliografía
Banco Central de Venezuela (BCV) 2006. Información Estadística. Disponible en: http://www.bcv.org.ve/
Baptista, Asdrúbal. 2000. Venezuela y su Sector Privado. Revista Gerente. Noviembre.
Baptista, Asdrúbal. 2000. Un buen número = una buena palabra. En “Venezuela Siglo XX visiones y testimonio”. Ediciones de la Fundación Polar.
CEPAL.1996. América Latina y el Caribe. Quince años después. FCE. México.
Haussman, Ricardo. 2006. El retraso económico venezolano: sus causas de fondo. Analítica Premium. No. 1. Disponible en: http://www.novedadesanalitica.com/documentos/Premium-Nro-1.pdf
Sáez, Francisco. 2006. Patrones cíclicos de la economía venezolana. En Sáez, F. y Pineda, J. (compiladores) “Crecimiento económico en Venezuela: bajo el signo del petróleo”. BCV. Caracas.
Thorp, Rosemary. 1998. Progreso, pobreza y exclusión. Una historia económica de América latina en el siglo XX. BID. Washington.
Velásquez, Efraín. 2001. El financiamiento del crecimiento en Venezuela. En “Condiciones y perspectivas del crecimiento económico en Venezuela. Foros BCV. No. 6. pp. 117-131.
El tamaño de la economía venezolana, de aproximadamente 135 mil millones de dólares en 2005, representa alrededor de un 5% del tamaño de la economía de América Latina y el Caribe (ALC), ésta con un PIB global de un poco más de 2 billones de dólares. La economía venezolana sólo está por detrás de México, cuyo PIB representa alrededor de 35% del PIB de ALC, de Brasil (30% del PIB de ALC) y de Argentina (7,5% del PIB de ALC), lo cual la sitúa junto con Chile y Colombia entre las seis economías de mayor tamaño de la región.CARACTERISTICAS DE LA ECONOMIA VENEZOLANA CON RESPECTO AL
ENTORNO DE AMERICA LATINA
Venezuela es un país que hasta finales de los años setenta del siglo XX exhibió una entre mediana y alta tasa de crecimiento de su PIB. Si tomamos el período que comprende prácticamente todo el siglo XX (1900-96) comprobamos que la tasa anual de crecimiento de la economía venezolana se situó en alrededor de 5,9%, superior en casi dos puntos a la tasa registrada por las principales economías latinoamericanas (4,3%). Este relevante desempeño económico tuvo efectos positivos en la modernización del país, lo cual se reflejó en el incremento sostenido de: la tasa de urbanización, la dotación de infraestructura, en el mejoramiento de los indicadores de calidad de vida, como el incremento de la tasa de alfabetización, de la expectativa de vida y en el aumento del nivel de ingreso per cápita. Las tasas de crecimiento para diferentes periodos del Cuadro 1 corroboran lo dicho.
Este crecimiento consistente contrasta agudamente con lo que ha sido la evolución del PIB venezolano desde finales de la década de los setenta, caracterizado por su comportamiento irregular, signado por una alta volatilidad, lo cual refleja la pérdida de dinamismo económico y el agotamiento del modelo rentista petrolero sobre el que se ha sostenido la economía venezolana. Durante la llamada “década perdida” para América Latina (1980-1990) la tasa de crecimiento anual promedio del PIB venezolano fue negativa (-0,7%). Durante el quinquenio de 1990-1995 esta tasa experimentó un repunte de 2,8%, para luego volver a retroceder en el período 1995-2002 donde el PIB experimentó un crecimiento nulo (-0,1%) (Cuadro 2). Este errático desempeño representa la más alta volatilidad del crecimiento del PIB entre los países de la región. Venezuela exhibió una volatilidad de 5% durante el período 1981-1996, frente a 1,9% para el resto de Latinoamérica en el mismo período (Thorp, 1998) [1].
Cuadro 1. Tasa de crecimiento del PIB (diferentes períodos hasta 1981)
Fuente: CEPAL (1996), Thorp (1998).
Cuadro 2. Tasa de crecimiento del PIB (diferentes períodos desde 1980)
Fuente: CEPAL (1996), Thorp (1998).
Esta alta volatilidad en el desempeño del PIB está relacionada con la respuesta característica de los agentes ante los shocks externos, fundamentalmente los provocados en los términos de intercambio del petróleo. La conseja implícita en las recetas de los organismos multilaterales: financiar un shock transitorio, ajustarse a un shock permanente, no ha sido un modelo de política económica a seguir en Venezuela. Por esta razón, los necesarios ajustes del gasto ante la caída de los ingresos petroleros no se producen, éstos se han comportado de manera rígida a la baja, con el resultado de provocar los déficits fiscales que finalmente desembocan en devaluaciones y mayores tasas de inflación, fenómenos característicos de economías con alta volatilidad en el crecimiento de su PIB. Los booms de ingresos petroleros, por el contrario, han sido frecuentemente absorbidos como un ingreso permanente, posibilitando que se produzcan sobrevaluaciones recurrentes del tipo de cambio real, lo cual le ha restado competitividad a las exportaciones no petroleras y ha encarecido relativamente los bienes y servicios domésticos que no se comercializan internacionalmente. Por esta razón, la vinculación entre los efectos monetarios generados por los cambios en los ingresos petroleros y la economía real no necesariamente se han producido en la misma dirección. Como se colige del trabajo de Sáez (2006), aunque los precios petroleros han tenido efectos reales en la economía venezolana, los mecanismos de transmisión que actúan desde los términos de intercambio a la actividad económica han resultado relativamente complejos. Adicionalmente, este efecto perverso también se deja observar, como lo apunta Haussman (2006), en el hecho que, a contracorriente de lo que cabría esperar, la productividad por trabajador y el ingreso por habitante no aumentan significativamente en los periodos de auge. En la práctica, la recuperación económica de los tres últimos años se ha producido a la par de la continua caída relativa de la productividad laboral.
El período 1995-2002, con su tasa de crecimiento de -0,1% representa incluso una volatilidad más acentuada que para períodos previos; volatilidad que también se refleja en las tasas de crecimiento del PIB desde 1999 hasta el presente (Cuadro 3 y Gráfico 1). En lo que va del presente siglo, el PIB venezolano ha estado sometido a significativas fluctuaciones con fuertes caídas durante los años 2002 y 2003. A partir del año 2004 se observa una recuperación importante del producto, la cual se mantuvo durante 2005, apoyada fundamentalmente en el fuerte aumento del gasto público, amparado en la tendencia favorable que ha mostrado la evolución de los precios del petróleo y la positiva dinámica de la economía mundial, entre otras causas, por el importante crecimiento de economías emergentes como China y la India. De los aproximadamente 55.500 millones de dólares de exportaciones venezolanas en el 2005, cerca del 90% correspondieron a las exportaciones petroleras, lo cual no quiere decir que no se produjera también un incremento significativo de la actividad económica no petrolera privada, pero ésta se produjo sobre todo a partir de la utilización de la capacidad instalada que se mantenía ociosa, la cual ya ha alcanzado niveles cercanos al tope de la capacidad productiva. Todo indica que el crecimiento del PIB se mantendrá durante el año 2006, con estimaciones que oscilan entre 6,5 y 7,5%. Aunque un poco ralentizado con respecto al año anterior, este crecimiento seguirá la tendencia de depender fuertemente del incremento del gasto público corriente, aunque también se ha incrementado el componente de gasto público destinado a inversión.
Cuadro 3. Tasa de crecimiento del PIB 1999-2006. (A precios constantes de 1997)
Esta alta volatilidad en el desempeño del PIB está relacionada con la respuesta característica de los agentes ante los shocks externos, fundamentalmente los provocados en los términos de intercambio del petróleo. La conseja implícita en las recetas de los organismos multilaterales: financiar un shock transitorio, ajustarse a un shock permanente, no ha sido un modelo de política económica a seguir en Venezuela. Por esta razón, los necesarios ajustes del gasto ante la caída de los ingresos petroleros no se producen, éstos se han comportado de manera rígida a la baja, con el resultado de provocar los déficits fiscales que finalmente desembocan en devaluaciones y mayores tasas de inflación, fenómenos característicos de economías con alta volatilidad en el crecimiento de su PIB. Los booms de ingresos petroleros, por el contrario, han sido frecuentemente absorbidos como un ingreso permanente, posibilitando que se produzcan sobrevaluaciones recurrentes del tipo de cambio real, lo cual le ha restado competitividad a las exportaciones no petroleras y ha encarecido relativamente los bienes y servicios domésticos que no se comercializan internacionalmente. Por esta razón, la vinculación entre los efectos monetarios generados por los cambios en los ingresos petroleros y la economía real no necesariamente se han producido en la misma dirección. Como se colige del trabajo de Sáez (2006), aunque los precios petroleros han tenido efectos reales en la economía venezolana, los mecanismos de transmisión que actúan desde los términos de intercambio a la actividad económica han resultado relativamente complejos. Adicionalmente, este efecto perverso también se deja observar, como lo apunta Haussman (2006), en el hecho que, a contracorriente de lo que cabría esperar, la productividad por trabajador y el ingreso por habitante no aumentan significativamente en los periodos de auge. En la práctica, la recuperación económica de los tres últimos años se ha producido a la par de la continua caída relativa de la productividad laboral.
El período 1995-2002, con su tasa de crecimiento de -0,1% representa incluso una volatilidad más acentuada que para períodos previos; volatilidad que también se refleja en las tasas de crecimiento del PIB desde 1999 hasta el presente (Cuadro 3 y Gráfico 1). En lo que va del presente siglo, el PIB venezolano ha estado sometido a significativas fluctuaciones con fuertes caídas durante los años 2002 y 2003. A partir del año 2004 se observa una recuperación importante del producto, la cual se mantuvo durante 2005, apoyada fundamentalmente en el fuerte aumento del gasto público, amparado en la tendencia favorable que ha mostrado la evolución de los precios del petróleo y la positiva dinámica de la economía mundial, entre otras causas, por el importante crecimiento de economías emergentes como China y la India. De los aproximadamente 55.500 millones de dólares de exportaciones venezolanas en el 2005, cerca del 90% correspondieron a las exportaciones petroleras, lo cual no quiere decir que no se produjera también un incremento significativo de la actividad económica no petrolera privada, pero ésta se produjo sobre todo a partir de la utilización de la capacidad instalada que se mantenía ociosa, la cual ya ha alcanzado niveles cercanos al tope de la capacidad productiva. Todo indica que el crecimiento del PIB se mantendrá durante el año 2006, con estimaciones que oscilan entre 6,5 y 7,5%. Aunque un poco ralentizado con respecto al año anterior, este crecimiento seguirá la tendencia de depender fuertemente del incremento del gasto público corriente, aunque también se ha incrementado el componente de gasto público destinado a inversión.
Cuadro 3. Tasa de crecimiento del PIB 1999-2006. (A precios constantes de 1997)
Fuente: BCV (datos disponibles en: http://www.bcv.org.ve/)
Gráfico 1: Tasa anual de crecimiento del PIB 1999-2006
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
El fluctuante desempeño del PIB venezolano durante el periodo 1995-2005 tiene varias causas de las cuales se mencionan tres relevantes:
1) Desde finales de los años ochenta la economía venezolana fue sometida a reformas mediante la implementación en 1989 de un programa de ajuste estructural. Este programa estaba alineado con las recomendaciones salidas del Consenso de Washington, involucrando entre otras medidas: liberación de los precios de los bienes y servicios, liberación del tipo de cambio, un programa de privatizaciones, una política de apertura comercial, reestructuración y modernización del sistema tributario y del sistema financiero. Sin embargo, la aceptabilidad de estas medidas como la estrategia adecuada dirigida a cambiar el modelo rentista petrolero no se correspondió con la instrumentación de políticas sociales efectivas, que paliaran sus previsibles efectos adversos, fundamentalmente sobre la población más pobre y, por ende, con menor capacidad para proteger sus ingresos reales. Con todo, programas como la apertura comercial significaron la posibilidad de lograr una mayor inserción internacional de los productos venezolanos, lo cual permitió dinamizar algunos sectores económicos privados, encontrando éstos nuevos mercados, reflejándose en el aumento sostenido de los flujos comerciales de bienes no petroleros, especialmente hacia Colombia y el resto de los países de la Comunidad Andina de Naciones.
2) Las políticas de ajuste no consiguieron anular la vulnerabilidad característica de la economía venezolana a los shocks externos, fundamentalmente los provocados por la caída de los ingresos petroleros. Las fluctuaciones del precio del petróleo de la segunda mitad de los años noventa demostraron una vez más la fuerte dependencia de la economía venezolana a éste. El desequilibrio entre gasto e ingreso se mantuvo dentro de un entorno signado por recurrentes sobrevaluaciones del tipo de cambio real, al utilizarse el anclaje cambiario como instrumento de control de la inflación, dificultando la inserción de la producción nacional no petrolera en los mercados internacionales. En este contexto, el programa de reformas sufrió reveses importantes, como la paralización del proceso de privatizaciones y el retraso en la implementación de las reformas en el sistema tributario y financiero, agravado en este último caso por la crisis bancaria del año 1994. Esta situación estuvo acompañada de la acentuación de la caída de la inversión doméstica, manifestada desde los años ochenta (Cuadro 4). En el caso de la inversión pública, su comportamiento fue relativamente estable durante las tres décadas previas a las reformas, situándose en torno a los diez puntos porcentuales con respecto al PIB. Pero, a partir de mediados de los noventa, la rigidez a la baja del gasto público en un escenario de menores ingresos se produjo en desmedro del gasto público en inversión, el cual experimentó, en términos reales, mermas significativas, sobre todo en sectores como infraestructura, la educación y la salud. Paradójicamente el ahorro bruto total, expresado como porcentaje del PIB, se ha situado de manera consistente por arriba de los requerimientos de inversión, lo cual explica, en parte, las recurrentes “fugas de capitales” características de la economía venezolana de las últimas dos décadas del siglo XX.
Cuadro 4. Ahorro privado e inversión privada (en % del PIB) Varios periodos.
Fuente: Velásquez (2001)
La caída de la inversión privada se reflejó, entre otros aspectos negativos, en un alto nivel de obsolescencia de las maquinarias y equipos utilizados (Baptista, 2000). Así, cuando se compara a Venezuela con Estados Unidos y Chile se tiene que la edad promedio en años de los equipos y máquinas utilizados para la producción en 1980 era de 5,35 y 5,95 años para estos países respectivamente, mientras que para Venezuela dicha cifra era de 4,89 años. Por el contrario, para 1999 la situación se había revertido; mientras el equipamiento norteamericano y chileno se reponía a tasas promedio de 5,01 y 4,54 años respectivamente, la edad promedio de los equipos y maquinarias en Venezuela representaba 8,19 años (Cuadro 5). No es de extrañar entonces que se haya producido igualmente una merma significativa en la productividad por trabajador del sector formal, agravado con la baja productividad exhibida por el empleo informal, en continuo ascenso desde comienzos de los años noventa.
Cuadro 5. Edad promedio en años de los equipos y maquinarias(Sector Privado de la economía)
1) Desde finales de los años ochenta la economía venezolana fue sometida a reformas mediante la implementación en 1989 de un programa de ajuste estructural. Este programa estaba alineado con las recomendaciones salidas del Consenso de Washington, involucrando entre otras medidas: liberación de los precios de los bienes y servicios, liberación del tipo de cambio, un programa de privatizaciones, una política de apertura comercial, reestructuración y modernización del sistema tributario y del sistema financiero. Sin embargo, la aceptabilidad de estas medidas como la estrategia adecuada dirigida a cambiar el modelo rentista petrolero no se correspondió con la instrumentación de políticas sociales efectivas, que paliaran sus previsibles efectos adversos, fundamentalmente sobre la población más pobre y, por ende, con menor capacidad para proteger sus ingresos reales. Con todo, programas como la apertura comercial significaron la posibilidad de lograr una mayor inserción internacional de los productos venezolanos, lo cual permitió dinamizar algunos sectores económicos privados, encontrando éstos nuevos mercados, reflejándose en el aumento sostenido de los flujos comerciales de bienes no petroleros, especialmente hacia Colombia y el resto de los países de la Comunidad Andina de Naciones.
2) Las políticas de ajuste no consiguieron anular la vulnerabilidad característica de la economía venezolana a los shocks externos, fundamentalmente los provocados por la caída de los ingresos petroleros. Las fluctuaciones del precio del petróleo de la segunda mitad de los años noventa demostraron una vez más la fuerte dependencia de la economía venezolana a éste. El desequilibrio entre gasto e ingreso se mantuvo dentro de un entorno signado por recurrentes sobrevaluaciones del tipo de cambio real, al utilizarse el anclaje cambiario como instrumento de control de la inflación, dificultando la inserción de la producción nacional no petrolera en los mercados internacionales. En este contexto, el programa de reformas sufrió reveses importantes, como la paralización del proceso de privatizaciones y el retraso en la implementación de las reformas en el sistema tributario y financiero, agravado en este último caso por la crisis bancaria del año 1994. Esta situación estuvo acompañada de la acentuación de la caída de la inversión doméstica, manifestada desde los años ochenta (Cuadro 4). En el caso de la inversión pública, su comportamiento fue relativamente estable durante las tres décadas previas a las reformas, situándose en torno a los diez puntos porcentuales con respecto al PIB. Pero, a partir de mediados de los noventa, la rigidez a la baja del gasto público en un escenario de menores ingresos se produjo en desmedro del gasto público en inversión, el cual experimentó, en términos reales, mermas significativas, sobre todo en sectores como infraestructura, la educación y la salud. Paradójicamente el ahorro bruto total, expresado como porcentaje del PIB, se ha situado de manera consistente por arriba de los requerimientos de inversión, lo cual explica, en parte, las recurrentes “fugas de capitales” características de la economía venezolana de las últimas dos décadas del siglo XX.
Cuadro 4. Ahorro privado e inversión privada (en % del PIB) Varios periodos.
Fuente: Velásquez (2001)
La caída de la inversión privada se reflejó, entre otros aspectos negativos, en un alto nivel de obsolescencia de las maquinarias y equipos utilizados (Baptista, 2000). Así, cuando se compara a Venezuela con Estados Unidos y Chile se tiene que la edad promedio en años de los equipos y máquinas utilizados para la producción en 1980 era de 5,35 y 5,95 años para estos países respectivamente, mientras que para Venezuela dicha cifra era de 4,89 años. Por el contrario, para 1999 la situación se había revertido; mientras el equipamiento norteamericano y chileno se reponía a tasas promedio de 5,01 y 4,54 años respectivamente, la edad promedio de los equipos y maquinarias en Venezuela representaba 8,19 años (Cuadro 5). No es de extrañar entonces que se haya producido igualmente una merma significativa en la productividad por trabajador del sector formal, agravado con la baja productividad exhibida por el empleo informal, en continuo ascenso desde comienzos de los años noventa.
Cuadro 5. Edad promedio en años de los equipos y maquinarias(Sector Privado de la economía)
Fuente: Baptista (2000)
Desde mediados de los años noventa se corrobora que el comportamiento de la inversión ha sido más errático que el del producto, la cual es de tres a cuatro veces superior a éste (Sáez, 2006). El Cuadro 6 presenta la variación porcentual anual de la inversión total desglosada en privada y pública, observándose la alta volatilidad de ambos componentes de la inversión. El Gráfico 2 muestra la relación entre el desempeño del producto, la inversión privada y la inversión pública para el período 1996-2002 a precios constantes de 1984. Efectivamente, la inversión tanto la privada como la pública han tenido un comportamiento más errático que el producto desde 1996. Ambas variables de inversión se relacionan, en el sentido que, dada la irreversibilidad de una parte de la inversión privada, que en Venezuela según Velásquez (2001) correspondería a aproximadamente un 50% de ésta, la incertidumbre asociada a la cuestión del financiamiento del gobierno alienta su comportamiento volátil.
Cuadro 6. Variación de la inversión total, privada y pública 1996-2002. A precios constantes de
Fuente: BCV (datos disponibles en: http://www.bcv.org.ve/)
Gráfico 2. Variación del PIB, la inversión privada y la inversión pública 1996-2002. A precios constantes de 1984
Cuadro 6. Variación de la inversión total, privada y pública 1996-2002. A precios constantes de
Fuente: BCV (datos disponibles en: http://www.bcv.org.ve/)Gráfico 2. Variación del PIB, la inversión privada y la inversión pública 1996-2002. A precios constantes de 1984
Fuente: BCV (datos disponibles en: http://www.bcv.org.ve/)
3) Los primeros años de este siglo reflejan hasta ahora a una economía venezolana más dependiente del comportamiento del ingreso petrolero y, secundariamente, de la efectividad de la recaudación fiscal. La recuperación de la tasa de inversión, tal y como se observa en el Cuadro 6, sin discriminarla entre su componente público y privado, ha acusado el impacto de una mayor dinámica económica. Este escenario no ha implicado a priori el desplazamiento de inversión privada por inversión pública, pero tampoco se ha producido un proceso de efectiva retroalimentación entre ambos componentes de inversión, lo cual impulsaría aún más el crecimiento del producto. A pesar de la aparente existencia de un clima institucional desfavorable para la inversión privada doméstica, el aumento sostenido del consumo privado es un buen indicador de un entorno propicio para la realización de inversiones privadas. En efecto, esta es una variable que se comporta de manera procíclica, exhibiendo una dinámica de respuesta frente a la expansión económica de varios puntos porcentuales por encima de ésta, tal y como se observa en el Gráfico 3 para el período 1999-2005 [2].
Cuadro 6. Inversión como porcentaje del PIB 1999-2005A precios constantes de 1997
Cuadro 6. Inversión como porcentaje del PIB 1999-2005A precios constantes de 1997
Gráfico 3. Variación porcentual del Consumo privado y del PIB 1999-2005A precios constantes de 1997
Fuente: BCV (datos disponibles en: http://www.bcv.org.ve/)
Las expectativas para los próximos años parecen indicar que Venezuela se encamina hacia una economía más regulada en el nivel de las tasas de interés y el tipo de cambio, junto a un sistema de precios administrados para los rubros más sensibles en su impacto sobre la tasa de inflación. Aunado a ello, existe la percepción entre los inversionistas extranjeros que el clima para realizar inversiones en Venezuela está fuertemente influido por medidas de carácter unilateral que reflejan inseguridad jurídica y exceso de regulaciones para realizar dichas inversiones. Hay que tomar en cuenta, además, que la capacidad de absorción de gasto de la economía venezolana es limitada, por lo cual las presiones inflacionarias se convierten en una variable recurrente en épocas de boom de ingresos petroleros. La coordinación de política macroeconómica dirigida a sostener el necesario equilibrio fiscal y monetario se seguirá enfrentando al dilema de evitar la sobrevaluación del tipo de cambio real, que introduce un sesgo anticompetitivo a las mercancías exportables por la industria venezolana y encarece relativamente los bienes no transables, generando una matriz propicia para que se presente una espiral de alza de precios y salarios en desmedro del aumento del ingreso real.
En estos términos, la política económica del actual gobierno, a pesar que parte de postulados diferentes sobre el tipo de sistema económico que se persigue, fundamentado en una distribución más equitativa de las oportunidades y del ingreso, parece responder en cuanto a su acción sobre la actividad económica a orientaciones cuyos resultados fueron característicos de los obtenidos por gobiernos de las tres últimas décadas del siglo XX. Por esta razón, se estaría frente a un escenario similar a lo ocurrido en las décadas de los setenta, ochenta y noventa respecto a los cambios en el crecimiento del producto, la evolución del tipo de cambio real y la inflación, los cuales revelan un patrón característico donde las autoridades no tienen un compromiso con una estrategia de mediano plazo. De allí que, según Velásquez (2001), no resulte infrecuente una política permisiva de la sobrevaluación del tipo de cambio por períodos muy largos, lo cual prefigura un escenario donde en algún momento sobrevendrá, inevitablemente, una gran crisis, una gran devaluación y un doloroso y complejo proceso de ajuste.
Ahora bien, para que se vuelva a cumplir este escenario recurrente de la economía venezolana, la prospectiva para los precios del petróleo en los próximos años tendrá que reducirse sustancialmente a la baja. De ocurrir lo contrario y mantenerse el actual nivel de precios, aún bajo un escenario de producción petrolera por debajo del tope establecido para Venezuela por la OPEP, el margen de maniobra para lograr sostenibilidad fiscal del gobierno probablemente seguirá siendo amplio. En principio la medida de adoptar un régimen de control del tipo de cambio desde el año 2003, dificultando la salida masiva de capitales, no ha estado reñida con el compromiso de corregir periódicamente su sobre valuación. Por otra parte, el incremento sostenido de las reservas internacionales, aunado al férreo cumplimiento de los compromisos de deuda externa, ha colocado el riesgo país en una posición muy ventajosa con respecto a posibles operaciones de endeudamiento externo. Sin embargo, se ha señalado el explosivo crecimiento de la deuda pública interna y la consiguiente carga fiscal que ésta acarrea, como una situación que puede comprometer en el mediano plazo la sostenibilidad fiscal.
Si bien las políticas públicas implementadas en los últimos años hacen énfasis en programas sociales orientados a cubrir necesidades de los pobres postergadas por décadas, se ha puesto en duda la sostenibilidad de este modelo. Por una parte, a pesar que desde la perspectiva del financiamiento del crecimiento económico, el elemento determinante es que el ahorro se genera y está disponible, el problema son los mecanismos de asignación y transmisión de ese ahorro al proceso de inversión. Por otra parte, a pesar del fuerte dinamismo mostrado por el PIB no petrolero, paradójicamente se ha venido deteriorando la base institucional que posibilitaría acciones de política económica generadas a partir de la participación y el consenso entre entes públicos y privados, trabajando de manera conjunta y armónica hacia una estrategia de crecimiento y desarrollo que sea compartida por la mayoría de los agentes económicos.
Ciertamente se observan en los ultimos meses, un espiral inflacionario, ciertamente determinado por el control de precios de los ultimos años y la aplicacion en el último año de el ITF, el cual determinó un efecto cascada. Ademas la reconversión monetaria en un periodo de alta liquidez y una oferta constreñida han resultado en un efecto redondeo devastador, lo cual sumado a planes poco realistas para el crecimiento de la oferta, nos sugieren ajustes macroeconómicos en el futuro cercano de indudable crudeza.
Notas
[1] El trabajo de Agenor et al. (1999) citado por Sáez (2006) que analiza las principales propiedades de los ciclos económicos en las economías emergentes presenta suficiente evidencia empírica para señalar que la volatilidad del producto varía considerablemente entre los países.
[2] En Venezuela, tomando como referencia el período 1999-2005 con valores a precios constantes de 1997 y a partir de cálculos propios se colige que el consumo privado se ha comportado en un rango que representa aproximadamente entre 55% (1999) y 63% (2005) del PIB. Véase los datos disponibles en: http://www.bcv.org.ve/
Bibliografía
Banco Central de Venezuela (BCV) 2006. Información Estadística. Disponible en: http://www.bcv.org.ve/
Baptista, Asdrúbal. 2000. Venezuela y su Sector Privado. Revista Gerente. Noviembre.
Baptista, Asdrúbal. 2000. Un buen número = una buena palabra. En “Venezuela Siglo XX visiones y testimonio”. Ediciones de la Fundación Polar.
CEPAL.1996. América Latina y el Caribe. Quince años después. FCE. México.
Haussman, Ricardo. 2006. El retraso económico venezolano: sus causas de fondo. Analítica Premium. No. 1. Disponible en: http://www.novedadesanalitica.com/documentos/Premium-Nro-1.pdf
Sáez, Francisco. 2006. Patrones cíclicos de la economía venezolana. En Sáez, F. y Pineda, J. (compiladores) “Crecimiento económico en Venezuela: bajo el signo del petróleo”. BCV. Caracas.
Thorp, Rosemary. 1998. Progreso, pobreza y exclusión. Una historia económica de América latina en el siglo XX. BID. Washington.
Velásquez, Efraín. 2001. El financiamiento del crecimiento en Venezuela. En “Condiciones y perspectivas del crecimiento económico en Venezuela. Foros BCV. No. 6. pp. 117-131.
viernes, 12 de octubre de 2007
Modelo de Solución de Problemas y Estudios de Ingenieria Económica
REALIZACIÓN DE UN ESTUDIO DE INGENIERÍA ECONÓMICA
Modelo de Blank y Tarquin. a utilizar en el desarrollo de la catedra de Economía petroquímica.
A lo largo de la materia, los términos ingeniería económica, análisis de ingeniería económica, toma de decisiones económicas, estudio de asignación de capital. Análisis económico y otros semejantes se consideran sinónimos. Existe un enfoque general, denominado enfoque de estudio de ingeniería económica, que ofrece una perspectiva general del estudio de ingeniería económica. Dicho enfoque se esquematiza en la figura 1. 1 para dos alternativas. En la figura 1.1 se describen los pasos del proceso de toma de decisiones.
Modelo de Blank y Tarquin. a utilizar en el desarrollo de la catedra de Economía petroquímica.
A lo largo de la materia, los términos ingeniería económica, análisis de ingeniería económica, toma de decisiones económicas, estudio de asignación de capital. Análisis económico y otros semejantes se consideran sinónimos. Existe un enfoque general, denominado enfoque de estudio de ingeniería económica, que ofrece una perspectiva general del estudio de ingeniería económica. Dicho enfoque se esquematiza en la figura 1. 1 para dos alternativas. En la figura 1.1 se describen los pasos del proceso de toma de decisiones.
Descripción de las alternativas: El resultado del paso 1 del proceso de toma decisiones consiste en un entendimiento básico de lo que requiere el problema para darle solución. Al principio llegan a presentarse diversas alternativas; pero sólo unas cuantas serán viables y evaluadas realmente. Si se han identificado las alternativas .A. B C para el análisis, cuando el método D. aunque no se le reconoce como una .alternativa, es el más atractivo, seguramente se tomará la decisión equivocada.
Las alternativas son opciones independientes que implican una descripción Verbal y las mejores estimaciones de parámetros, tales como el costo inicial (incluyendo precio de compra, desarrollo, instalación). ‘ida útil, ingresos y egresos
Anuales estimados, valor de salvamento (valor de reventa o canje). Una tasa de interés (tasa de rendimiento) y posiblemente inflación y efectos del impuesto sobre a renta. Por lo general. Las estimaciones de los gastos anuales se agrupan y reciben el nombre de costos anuales de operación (CAO) o costos de mantenimiento y operación (CMO).
Flujos de efectivo Las entradas (ingresos) y salidas (costos) estimadas de dinero reciben el nombre de flujos de efectivo. Dichas estimaciones se realizan para cada alternativa (paso 3). Sin estimaciones del flujo de efectivo durante un periodo establecido resulta imposible llevar a cabo un estudio de ingeniería económica. La variación esperada de los flujos de efectivo indica una necesidad real de un análisis de sensibilidad en el paso 5.
Análisis mediante un modelo de ingeniería económica: Los cálculos que consideran el valor del dinero en el tiempo se realizan sobre los flujos de efectivo de cada alternativa para obtener la medida de valor.
Elección de alternativa Se comparan los valores de la medida de valor y se elige una alternativa. Esto es el resultado del análisis de ingeniería económica. Por ejemplo. El resultado de un análisis de tasa de rendimiento puede ser el siguiente: se elige la alternativa 1, donde se estima una tasa de rendimiento de 18.4% anual, sobre la alternativa 2, cuya tasa de rendimiento anual esperada es de 10%. Se puede aplicar una combinación de criterios económicos utilizando la medida de valor, así como los factores no económicos e intangibles, para facilitar la elección de una alternativa.
Si sólo se define una alternativa viable, hay una segunda alternativa presente en la forma de alternativa de no hacer algo. Es una alternativa llamada también dejar como está o statu quo. Se puede elegir no hacer algo si ninguna alternativa posee una medida de valor favorable.
Estemos o no conscientes, a diario empleamos criterios para elegir entre diversas alternativas. Por ejemplo, cuando nos dirigimos a la universidad en automóvil, decidimos tomar la mejor ruta. Pero, ¿cómo definimos lo mejor? ¿La mejor ruta es la más segura, la más corta, la más rápida, la más barata, la que tiene mejor paisaje. o cuál? Es obvio que. Dependiendo del criterio o combinación de criterios que se aplique para identificar la mejor, cada vez podría elegirse una ruta diferente. En el análisis económico, las unidades financieras (dólares u otra moneda) generalmente sirven de base tangible para realizar la evaluación. Por consiguiente, cuando existen diversas formas de conseguir un objetivo establecido, se elegirá la alterad:
Con el costo global menor o la utilidad neta global mayor. Un análisis después de impuestos se lleva a cabo durante el proyecto de evaluación. Por lo general con efectos significativos sólo sobre la depreciación de ad: y los impuestos sobre la renta que se consideren. Los impuestos establecido’ los gobiernos locales, estatales, federales e internacionales normalmente adquieren. La forma de un impuesto sobre la renta por ingresos. Un impuesto al valor agregado:(IVA). Impuestos de importación, impuestos sobre la renta. Impuestos prediales. Otros. Los impuestos influyen sobre las estimaciones de los flujos de efectivo o alternativas; tienden a mejorar las estimaciones del flujo de efectivo en cu,’ costos, ahorros en gastos y depreciación de activos, y al mismo tiempo reducen estimaciones del flujo de efectivo del ingreso y de la utilidad neta después a. puestos. Pospondremos los detalles del análisis después de impuestos hasta que se hayan estudiado las herramientas y técnicas fundamentales de la ingeniería mica. Hasta entonces, consideraremos que todas las alternativas tienen el: ‘impuesto gravado por las leyes tributarias en vigor.
Contenido Catedra Economia Petróquimica(Ingenieria Economica)
1) La Ingenieria económica como herramienta básica del ingeniero petroquímico. Proyecto de Inversió Etapas . Aspectos Económicos, técnicos, comerciales, y financieros. La evaluación económica de proyectos de inversión.
2) Diagrama croeconómicos. Tipo de flujos financieros monetarios, Nociones de matemáticas financieras. Tasas de urgencia, de interés y de rentabilidad, concepto de equivalencia financiera, casos de flujos singulares y distribuidos, flujos multiples.
3) Métodos de evaluación económica de proyectos de inversión, Los flujos de fondos en un proyecto de inversión. Caracteristicas de la evaluación económica de proyectos de inversión. (Fundamentos).
4) Inversiones y Valores de recuperación Inversiones distribuidas. Cálculos de costos de inversión.
5)Metodos del valor presente criterio fundamental.
6)Los metodos del rendimiento anual de la inversion.
7)Evaluaciones económicas y financieras, privadas y públicas.
8)Valuaciones financieras de proyectos de inversión.
9) Punto de equilibrio Contable, Ingresos costos, fundamentación teórica y aplicaciones, Evaluación de proyectos de inversión con el gráfico del punto de equilibrio económico.
10)Evaluación estratégicas multidimensionales de proyectos de inversión.
11)Análisis de sensibilidad. El riesgo de la incerteza, incerteza cuantificada y no cuantificada, .
2) Diagrama croeconómicos. Tipo de flujos financieros monetarios, Nociones de matemáticas financieras. Tasas de urgencia, de interés y de rentabilidad, concepto de equivalencia financiera, casos de flujos singulares y distribuidos, flujos multiples.
3) Métodos de evaluación económica de proyectos de inversión, Los flujos de fondos en un proyecto de inversión. Caracteristicas de la evaluación económica de proyectos de inversión. (Fundamentos).
4) Inversiones y Valores de recuperación Inversiones distribuidas. Cálculos de costos de inversión.
5)Metodos del valor presente criterio fundamental.
6)Los metodos del rendimiento anual de la inversion.
7)Evaluaciones económicas y financieras, privadas y públicas.
8)Valuaciones financieras de proyectos de inversión.
9) Punto de equilibrio Contable, Ingresos costos, fundamentación teórica y aplicaciones, Evaluación de proyectos de inversión con el gráfico del punto de equilibrio económico.
10)Evaluación estratégicas multidimensionales de proyectos de inversión.
11)Análisis de sensibilidad. El riesgo de la incerteza, incerteza cuantificada y no cuantificada, .
Contenido de la Catedra Economia PQN8a
CONTENIDO
1. LA CIENCIA ECONÓMICA Y SU FUNCIÓN COMO CIENCIA SOCIAL DE DESARROLLO DEL HOMBRE EN SOCIEDAD.Concepto de Ciencia Económica. El problema económico. Función de la economía. Venezuela en el marco latinoamericano: el problema del subdesarrollo y la dependencia. El subdesarrollo en el marco Latinoamericano. Elementos de comparación entre las economías latinoamericanas subdesarrolladas y economías desarrolladas, El estado en el desarrollo. Estructura económica tradicional al impacto petrolero. Formación y desarrollo de una agricultura de tipo capitalista. Modificaciones introducidas en la estructura económica con la incorporación del petróleo cuino recurso económico — político. Analizaran la formación y desarrollo de una agricultura de tipo capitalista. Componente de la estructura productiva venezolana la industria. Subdesarrollo en el marco 1 atinoamericano. Características que asume el capitalismo venezolano, en el marco de una crisis estructural a partir de la década de los 80. Características del capitalismo en Venezuela entre. 1.980 actualidad.
2. MÉTODOS E INSTRUMENTOS DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA DE LA CIENCIA EX GENERAL Y DE LA CIENCIA ECONOMICA EN PARTICULAR.Concepto método. Metodos de investigación: Analítico, sintético, dinámico, estático. macroeconómico. microeconómico. Procedimientos de cada uno. Aplicabilidad de cada método en la ciencia económica.3. NOCIONES FUNDAMENTALES DE LOS COMPONENTES BASICOS DE LA ECONOMIA.Definir los componentes de las Necesidades Humanas.
3. Bienes y Serv icios y Utilidad. Características y clasificaciones. Ley de la Utilidad Marginal Decreciente.
4.LA ORGANIZACIÓN ECONÓMICA DEL PAÍS, MERCADO, CIRCUITOS, SISTEMAS, ESTRUCTURAS,ACTIVIDADES ECONÓMICAS.Estructura organizativa de la economía del país sus componentes. 1 os mercados, los circuitos, la actividadeseconómicas. Funcionamiento del sistema. tnterrelación cíe los distintos elementos de los componentes de la economíanacional y sus relaciones en el e’sterior.
5.ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CONDUCTA DEL CONSUMIDOR.Plan económico de la unidad de consumo. El enfoque moderno de la conducta del consumidor. l.os métodos de laconducta del consumidor.6.FUNCIÓN Y APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA DEMANDA.Teoría de la demanda. Factores de la demanda y’ sus consecuencias. Elasticidad de la demanda.
1. LA CIENCIA ECONÓMICA Y SU FUNCIÓN COMO CIENCIA SOCIAL DE DESARROLLO DEL HOMBRE EN SOCIEDAD.Concepto de Ciencia Económica. El problema económico. Función de la economía. Venezuela en el marco latinoamericano: el problema del subdesarrollo y la dependencia. El subdesarrollo en el marco Latinoamericano. Elementos de comparación entre las economías latinoamericanas subdesarrolladas y economías desarrolladas, El estado en el desarrollo. Estructura económica tradicional al impacto petrolero. Formación y desarrollo de una agricultura de tipo capitalista. Modificaciones introducidas en la estructura económica con la incorporación del petróleo cuino recurso económico — político. Analizaran la formación y desarrollo de una agricultura de tipo capitalista. Componente de la estructura productiva venezolana la industria. Subdesarrollo en el marco 1 atinoamericano. Características que asume el capitalismo venezolano, en el marco de una crisis estructural a partir de la década de los 80. Características del capitalismo en Venezuela entre. 1.980 actualidad.
2. MÉTODOS E INSTRUMENTOS DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA DE LA CIENCIA EX GENERAL Y DE LA CIENCIA ECONOMICA EN PARTICULAR.Concepto método. Metodos de investigación: Analítico, sintético, dinámico, estático. macroeconómico. microeconómico. Procedimientos de cada uno. Aplicabilidad de cada método en la ciencia económica.3. NOCIONES FUNDAMENTALES DE LOS COMPONENTES BASICOS DE LA ECONOMIA.Definir los componentes de las Necesidades Humanas.
3. Bienes y Serv icios y Utilidad. Características y clasificaciones. Ley de la Utilidad Marginal Decreciente.
4.LA ORGANIZACIÓN ECONÓMICA DEL PAÍS, MERCADO, CIRCUITOS, SISTEMAS, ESTRUCTURAS,ACTIVIDADES ECONÓMICAS.Estructura organizativa de la economía del país sus componentes. 1 os mercados, los circuitos, la actividadeseconómicas. Funcionamiento del sistema. tnterrelación cíe los distintos elementos de los componentes de la economíanacional y sus relaciones en el e’sterior.
5.ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE LA CONDUCTA DEL CONSUMIDOR.Plan económico de la unidad de consumo. El enfoque moderno de la conducta del consumidor. l.os métodos de laconducta del consumidor.6.FUNCIÓN Y APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA DEMANDA.Teoría de la demanda. Factores de la demanda y’ sus consecuencias. Elasticidad de la demanda.
Bibliografia Economia (PQN8A)
Esta es la bibliografia que deben revisar de manera obligatoria. Sin embargo yo por via web o email le haré llegar bibliografia para que preparen los diversos temas.
FISCHER, S.: DORNRUSH. R. y SCHMAI.ENSEE. 5. ‘Economía. Mc. Grav lIill.199l.SAMUEI,SON. P. y NORDIIAUS. \V. “Econoniía. Ospaña. .‘vtc. Gravv 1h11. 2002.
CIPOLL,A, Carlos. “Entre la historia la economía’. Critíca. Barcelona. 1991
SILVA OTERO. Arístides. “Un marco teórico de la historia económica”. 1. CAI3. Caracas. 1996.
CIIACIIOLIADES. M. “Economía Internacional’. Editorial. Mc. Gravv Hill (Segunda Edición). Bogota, 1992.
KRUGMAN, P. y’ OBS lFFLD, M. “Economía Internacional. Teoría Política”. Editorial. Mc. Grass 1 hill. Bogota, 1993.MOCI ION (2004) “Introducción a la economía para turismo’ Mc. Gravs 1
Recomendada por el Profesor:
Para la primer Tema les envié el libro: Introducción a la Sociología, la Economía y las Ciencias PolíticasLic. Alejandra Padilla Juárez, Deben leer los capitulos III y IV.
FISCHER, S.: DORNRUSH. R. y SCHMAI.ENSEE. 5. ‘Economía. Mc. Grav lIill.199l.SAMUEI,SON. P. y NORDIIAUS. \V. “Econoniía. Ospaña. .‘vtc. Gravv 1h11. 2002.
CIPOLL,A, Carlos. “Entre la historia la economía’. Critíca. Barcelona. 1991
SILVA OTERO. Arístides. “Un marco teórico de la historia económica”. 1. CAI3. Caracas. 1996.
CIIACIIOLIADES. M. “Economía Internacional’. Editorial. Mc. Gravv Hill (Segunda Edición). Bogota, 1992.
KRUGMAN, P. y’ OBS lFFLD, M. “Economía Internacional. Teoría Política”. Editorial. Mc. Grass 1 hill. Bogota, 1993.MOCI ION (2004) “Introducción a la economía para turismo’ Mc. Gravs 1
Recomendada por el Profesor:
Para la primer Tema les envié el libro: Introducción a la Sociología, la Economía y las Ciencias PolíticasLic. Alejandra Padilla Juárez, Deben leer los capitulos III y IV.
miércoles, 10 de octubre de 2007
Bibliografia para Ingenieria Económica
Texto Principal:
Leland Blank, Anthony Tarquin"Ingenieria Económica"., 2006, " 6ta Edicion.
Otros:
Park C. S. "Fundamentos de Ingenieria Económica". 2004
Leland Blank, Anthony Tarquin"Ingenieria Económica"., 2006, " 6ta Edicion.
Otros:
Park C. S. "Fundamentos de Ingenieria Económica". 2004
APUNTES MATEMATICAS FINANCIERAS
INTRODUCCION
Para abordar la Ingenieria Económica se hace necesario revisar algunos conceptos e ideas, de las matemátcas financieras las cuales será herramientas utiles para comprender ciertas realidades y hacer comparaciones.
* Valor presente, P: corresponde a la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora, a la tasa de interés i y durante N periodos.
* Tasa de interés periódica, i: Es la tasa que se obtiene durante cada periodo de conversión de los intereses a capital.
* Periodos de conversión, N: Tratándose de rendimientos efectivos, N son los periodos de conversión durante los cuales se invierte o se presta P.
* Valor futuro, F: El valor futuro F, es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final de la transacción. Equivale a un pago único futuro en N, equivalente a un pago único presente ahora.
2.2.2. Esquema de pagos únicos equivalentes
A continuación se ilustra el esquema de pagos únicos a través del diagrama de flujo de caja:
Los intereses obtenidos periódicamente se han reinvertido o capitalizado hasta el final de los períodos de conversión.
(1 + i ) N: Se conoce como el factor que convierte un pago único presente en un pago único futuro equivalente a una tasa de interés i y en N periodos.
Las aplicaciones del esquema de pagos únicos:
1. Dados los valores del valor presente, la tasa de interés y los periodos de conversión, hallar el valor futuro.
Ejemplo 1.
Hallar el valor futuro de $1 millón, invertido a una tasa del 5% trimestral al cabo de 2 años. Definamos los valores de las variables así:
P = 1.000.000
i = 5% periódico trimestral
N = 8 periodos trimestrales.
Nota: La periodicidad de la tasa de interés debe coincidir con la periodicidad del plazo de tiempo, en este caso trimestres y donde la tasa de interés determina la periodicidad.
Luego elaboramos el diagrama de flujo de caja y definimos la formula que determina el valor futuro:
F = 1.000.000 * (1+ 0.05)8 = $1.477.455.
El valor futuro de $1.477.455 es equivalente al valor presente de $1.000.000. siempre y cuando los rendimientos generados al 5% trimestral se reinviertan a la misma tasa durante los 8 periodos trimestrales siguientes. La equivalencia en matemáticas financieras supone siempre la reinversion a la tasa de interés periódica.
2. Dados los valores del futuro, la tasa de interés y los periodos de conversión hallar el valor presente.
Ejemplo 2.
Hallar la cantidad de dinero que se debe invertir hoy para disponer de $2.000.000 al final de 3 años, si la tasa de interés es del 2% mensual.
F = 2.000.000
i = 2% mensual
N = 36 meses.
F = P * (1+ i)N , despejamos el valor de P.
P = F * (1+i)- N. (1+ i )-N: Es el factor que convierte un pago único futuro de valor F, en un pago único presente de valor P equivalente.
Diagrama de flujo de caja:
P = 2.000.000 * (1+.02)-36 = $980.446.
Valor presente, P: El valor presente de una cantidad F, es aquel valor P que invertido ahora a una tasa de interés i y en N periodos será igual a F. Lo anterior quiere significar que si se invierten $980.446 ahora en una entidad que paga una tasa del 2% mensual, al cabo de 36 meses se dispone de $2.000.000.
3. Dados los valores: presente, valor futuro y tasa de interés, hallar los periodos de conversión.
Ejemplo 3.
En cuantos meses una inversión de $5.000.000 se duplica, si la tasa de interés es del 1.5% mensual.
P=5.000.000
F=10.000.000
i=1.5% mensual.
De F = P * (1 + i)N , despejamos el valor de N.
N = log ( F / P ) ÷ log ( 1+ i ).
N = log2 ÷ log1.015 = 47 meses aproximadamente.
4. Dados los valores: presente, valor futuro y de los periodos de conversión, hallar la tasa de interés periódica.
Ejemplo 4.
Una inversión de $2 Millones, realizada hace 15 años alcanza hoy un valor de $70 Millones. Por consiguiente determinar tasa de interés mensual, trimestral, semestral y anual.
P = 2.000.000
F = 70.000.000.
Mensual:
Trimestral:
Semestral:
Anual:
N = 180
N = 60
N = 30
N = 15
i=1.99%
i=6.10%
i=12.58%
i=26.75%
Para hallar la tasa de interés periódica, despejamos de F = P * ( 1 + i )N el valor de i.
i = ( F / P )1/ N-1.
Las tasas periódicas del ejemplo son tasas equivalentes, lo anterior significa que si la tasa periódica mensual del 1.99% se reinvierte, al cabo del trimestre se dispone de la tasa del 6.10%, al final del semestre de 12.58% y al final del año de 26.75%. Así con las otras tasas en las cuales se obtiene una tasa periódica anual del 26.75%, en todos los casos.
__
3.1 CONCEPTO DE TASAS EQUIVALENTES DE INTERÉS
Dos o más tasas periódicas de interés son equivalentes, si con diferente periodicidad producen el mismo interés efectivo al final de cualquier periodo. La costumbre es considerar este periodo de un año.
3.1.1 Tasa nominal anual de interés (%nom)
La tasa nominal anual es la tasa que se obtiene al final de un periodo anual siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente no se reinviertan. Por lo tanto tasa nominal anual constituye una función lineal al cabo del periodo anual.
La tasa nominal se denomina por la letra J, y es igual a la tasa periódica i multiplicada por los periodos en que se puede convertir a capital en el periodo anual.
J = %nom = i * p
o P: Frecuencia de conversión anual, es el numero de veces que se puede convertir el interés a capital en un año. Si la frecuencia de conversión anual es igual a uno, la tasa nominal anual corresponde a la tasa efectiva anual. El valor de p puede ser igual a 1, mínimo valor que puede tomar y en este caso corresponde a la efectiva anual y también pude ser mayor a 1, hasta tender a infinito que se llamara tasa de interés continua.
Si : P = 1 Tasa efectiva anual
P = 2 Tasa nominal anual, semestre vencido
P = 4 Tasa nominal anual, trimestre vencida
P = 12 Tasa nominal anual, mes vencida
P = 365 Tasa nominal anual, día vencido
P tiende a infinito: Tasa de interés continuo.
3.1.2. Tasa efectiva anual de interés(%efe)
Corresponde a la tasa que se obtiene al final de un periodo anual, siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente se reinviertan a la tasa de interés periódica pactada inicialmente. Por lo tanto la tasa efectiva anual es una función exponencial de la tasa periódica.
Observaciones a tener muy presentes:
· La tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningún denominador, porque es una función exponencial.
· Tasas nominales equivalentes entre si, siempre tendrán la misma tasa de interés efectiva anual. La tasa efectiva anual, por lo tanto se constituye en un criterio para tomar decisiones, para invertir lógicamente escoger aquella entidad que ofrezca la mas alta(sin consideraciones por ahora del riego) y para endeudarse elegir aquella tasa que términos efectivos sea la menor.
· La tasa efectiva, corresponde a la tasa periódica anual y tendrá sentido siempre y cuando sea periódica vencida.
· Las tasas nominales anuales solamente admiten como divisor su propia periodicidad. Por lo tanto para hallar una tasa periódica se divide la tasa nominal en su frecuencia de conversión anual, i = J ÷ p = %nom ÷ p.
3.2. Conversión de tasas de interés. Casos.
3.2.1 Caso 1
Dada una tasa nominal anual, hallar una tasa efectiva anual.
Ejemplo 5.
Dada una tasa del 24% nominal anual mes vencida, hallar una tasa efectiva anual.
Cuando se enuncia una tasa nominal del 24% nominal m.v., se puede conceptuar que se toma el periodo de un año y se divide en doce periodos, en tantos periodos cuantos indique la periodicidad, y por lo tanto a cada periodo mensual, en este caso, le corresponde la tasa periódica del 2% mensual. Esta tasa periódica mensual puede no reinvertirse, entonces el resultado al cabo del periodo anual será del 24% nominal, pero esta tasa se puede reinvertir y si es así, la tasa obtenida al final del periodo anual será efectiva.
En este ejercicio, nos interesa demostrar el procedimiento para obtener la formula para hallar la tasa efectiva a partir de la tasa nominal. Empezamos del supuesto que para hallar la equivalencia de las tasas, siempre se considera un periodo anual y el propósito es obtener el mismo valor futuro al cabo del año, trabajando con cualquiera de las tasas ya que estas son equivalentes.
Por lo tanto, el valor futuro de una cantidad de dinero (P) invertida a una tasa periódica del 2% mensual al cabo del año debe ser igual al valor futuro de la misma cantidad de dinero invertida a la tasa efectiva anual que no se conoce al final del año.
P * (1+ip)N = P * (1+ie).
Despejamos ie
ie = (1+ip)N-1
ie = (1+ip)p-1
Del ejemplo, entonces podemos hallar la tasa efectiva:
ie=(1+.24/12)12-1=.2684=26.84%.
3.2.2 Caso 2
Dada una tasa efectiva anual, hallar una tasa nominal anual.
Ejemplo 6.
Dada una tasa efectiva del 24% anual, hallar la tasa nominal mes vencida equivalente.
Este caso trata del ejemplo anterior y para hallar la formula simplemente despejamos la que se estableció en esa oportunidad.
ip = (1+ie)1/p-1
J = %nom = ((1+ie)1/p-1)*p
Del enunciado del ejemplo:
% nom = ((1+.24)1/12-1)*12=21.71% Nominal mes vencido.
ip = 21.71%/12=1.81% Mes vencida.
3.2.3 Caso 3
Dada una tasa nominal anual, hallar otra tasa nominal anual equivalente pero con diferente periodicidad.
Ejemplo 7.
Siempre que se desee hallar la equivalencia entre tasas nominales, lo mas expedito será hallar la tasa efectiva equivalente a la nominal dada y luego se determina la nominal equivalente a esa efectiva encontrada.
Dada una tasa del 24% nominal mes vencida, hallar la tasa nominal trimestre vencida equivalente.
Como se menciono, se encuentra la tasa efectiva equivalente al 24% nominal mes vencida:
ie = (1+0.24/12)12-1= 26.82%. Luego se establece la tasa nominal equivalente a esta efectiva:
%nom = ((1+0.2684)1/4-1)*4 = 24.48% nominal anual trimestre vencida.
Lo anterior lo hicimos invocando el concepto de que tasa nominales equivalentes entre sí, tienen la misma tasa de interés efectiva anual.
4. TIPOS DE TASAS DE INTERÉS
o Tasa de interés periódica vencida, ip: Esta tasa es la que se obtiene durante cada periodo y se establece dividiendo la tasa nominal entre los periodos de conversión en el periodo anual, i = j / p.
o Tasa nominal anual de interés, J: Los rendimientos periódicos devengados a la tasa de interés i es posible que no se reinviertan y si es así, se obtiene la tasa nominal anual, como se ha mencionado. J = ip * p.
o Tasa efectiva anual, ie : Si los rendimientos generados periódicamente se reinvierten al final del año, se obtiene la tasa efectiva anual. ie =(1+ip )p–1.
o Tasa de interés periódica anticipada, ia : Hasta ahora solo se ha efectuado mención a las tasas periódicas vencidas, pero a veces las tasas se liquidan anticipadamente.
Cuando se solicita un préstamo los intereses pueden ser cobrados de dos formas:
Intereses vencidos: El desembolso es de P y dentro de un periodo se debe pagar el valor futuro de P * ip , por lo tanto la tasa cobrada es de ip.
Intereses anticipados: Cuando los intereses son calculados anticipadamente, se solicita un préstamo de valor P y el desembolso es de P-P*ia=P*(1-ia) , el cual debe ser cancelado en un periodo con un valor futuro, el cual equivale al valor solicitado en préstamo, que en este caso corresponde a P. Por la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro del esquema de pagos únicos, tenemos:
F = P * (1+ip)N
P= P * (1-ia) * (1+ip)N.
Despejando la tasa de interés periódica, ip:
ip=i / (1-ia). Esta formula permite determinar la tasa de interés periódica vencida equivalente a la tasa de interés periódica anticipada dada.
Análogamente, podemos obtener la formula para hallar la tasa periódica anticipada dada la tasa periódica vencida, así: ia = ip / (1+ip).
Reemplazando el valor de la tasa periódica vencida en función de la tasa periódica anticipada en la formula de la tasa efectiva anual, obtenemos el valor de esta, en función de la tasa periódica anticipada.
Si ie = (1+ip)p-1, ip= ia / (1-ia) entonces: ie= (1-ia)-p-1.
Ejemplo 7.
Dada una tasa nominal del 36% trimestre anticipada, determinar el valor de la tasa nominal trimestre vencida.
Cuando la tasa se enuncia nominal anual trimestre anticipado, se quiere significar que el año se divida en cuatro periodos y que al principio de cada periodo se cobrara la cantidad de $9, si suponemos que sea $100 el valor solicitado en préstamo, como la tasa nominal significa no reinversion, entonces el valor cobrado es de $36.
Aplicando las formulas descritas, tenemos que:
ia = Nominal anticipada periodicidad. ia=36%÷4=9%.
ip = ia(1-ia)=.09÷0,91=9,89% periódica vencida.
ie =(1+ip)p-1 En función de la tasa periódica vencida
ie = (1+.0989)4-1=42.58%.
ie = (1-ia)-p-1 En función de la tasa periódica anticipada.
ie = (1-.09)-4-1=42.58%.
o Tasa de interés pasiva y tasa de interés activa: La tasa de captación del sistema financiero Colombiano se denomina DTF, corresponde a la tasa promedio del sistema incluyendo bancos y corporaciones y recibe el nombre de tasa pasiva. La costumbre, a veces, es expresarla en términos nominales trimestre anticipado. La tasa de colocación, la tasa a la cual los bancos y corporaciones prestan el dinero captado se realiza por lo general al DTF mas el margen de intermediación y esta tasa resultante se llama la tasa activa.
o Tasa de interés real, iR: Hasta ahora no se había tenido en cuenta el fenómeno de la inflación en el concepto de las tasas de interés. La tasa de interés real, es la tasa de interés a la cual se le ha descontado el efecto de la inflación. Entendiéndose la inflación, como el fenómeno económico, caracterizado por la variación positiva y sostenida en el nivel general de precios de la economía y cuya consecuencia es la perdida del poder adquisitivo del dinero frente a la canasta de bienes y servicios.
Supongamos que se invierten ahora la suma de $1 millón a una tasa del 20% efectiva durante un año. Al encontrar el valor futuro de $1.200.000 al cabo del período anual, no podemos concluir que nuestra riqueza se ha incrementado en este 20%. El dinero (los billetes) han dejado de ser la medida de la riqueza. Para que una medida cumpla con su estricta función, debe tener ciertas condiciones, como su invariabilidad, servir como referencia, ser universal y precisamente nuestros pesos Colombianos no tienen estos atributos, porque nuestra economía todos los días enfrenta el fenómeno inflacionario. Para conocer realmente el aumento o disminución de nuestra riqueza tenemos que disponer de una adecuada medida de esta riqueza. Una buena medida a nivel personal, es la capacidad de adquirir bienes y servicios.
De nuestro ejemplo, imaginemos que los bienes que podemos adquirir hoy, cada uno vale $1.000., con el $1 Millón de pesos, de los cuales disponemos, ahora podemos adquirir 1.000 bienes. Nos tendremos que preguntar entonces, cuantos bienes podemos comprar dentro de un año con $1.200.000. Si estimamos una inflación del 10% en el año, cada bien tendrá un precio de $1.100 y con el dinero que disponemos alcanzaremos a comprar 1091 bienes ($1.200.000/$1.100). Concluimos que nuestra capacidad de compra se incremento en el 9.1% aproximadamente. Un error usual, consiste en restar a la tasa en términos corrientes la tasa de inflación, olvidándonos que los intereses corrientes sufren también del efecto de la inflación.
La siguiente formula, permite calcular la tasa de interés en términos reales:
ir=((1+ Tasa corriente) ÷ (1+ Tasa inflación))-1.
o Tasa de interés múltiple: Cuando sobre una inversión o préstamo actúan simultáneamente dos tasas, la tasa resultante se conoce como la tasa múltiple de interés. En Colombia hay dos casos de tasas de interés múltiple: Uno de estos casos, es el crédito para vivienda en Unidades de valor real (UVR) o anteriormente crédito de las corporaciones de ahorro y vivienda en unidades de poder adquisitivo constantes (UPAC) y el otro caso es cuando se efectúan negociaciones con el extranjero.
Veamos a continuación, la ilustración del funcionamiento de la tasa múltiple de interés en un crédito para vivienda en UVR.:
Supongamos un crédito para vivienda por la suma de $1 Millón de pesos adquirido en UVR. Este préstamo esta sometido al efecto de dos tasas: Por un lado a la tasa en UVR y por otro lado a la tasa de la inflación. Para nuestra demostración la tasa en UVR es del 14% efectiva anual y la tasa de inflación del 10% anual. Además supondremos que el valor de la UVR en la fecha del desembolso sea de $120.
La corporación financiera, en este caso no concede el crédito en pesos sino en unidades y sobre estas unidades prestadas aplica la respectiva tasa. El numero de unidades desembolsadas se calculan de acuerdo al valor de la unidad en el momento de efectuar el desembolso. En la fecha de pago se calcula las unidades adeudadas y se convierten a pesos según el valor de la unidad en esa fecha. El valor de la unidad se ha indexado por la tasa de inflación en el periodo respectivo de duración del crédito.
El anterior proceso es mas simple observarlo con los diagramas de flujo de caja:
Llamemos:
Pu = valor presente del préstamo en UVR
iu = tasa de interés periódica en UVR
Fu = valor futuro del préstamo en UVR UVR
El préstamo en unidades es de 8.333.33, el cual se cancela con un valor futuro de 9.500 unidades.
TVP= Tasa de cambio del valor de la unidad en la fecha del desembolso
INF = Tasa de infracción en el período.
TVF = Tasa de cambio del valor futuro de la unidad en la fecha de pago
El valor de la unidad ascenderá a $132, en el momento de pagar el crédito. Para conocer la tasa de interés efectiva, elaboremos un flujo de caja en pesos y establezcamos la tasa:
F$ = P$ (1+iE)N
9.500 x 132 = 8.333.33 x (1 + iE)
8.333.33 x (1+0.14) x 120x (1+0.10) = 8.333.33 x (1+iE)
(1+0.14) * (1+0.10) = (1+iE) * iE = (1+0.14) x (1+0.10) – 1
iE = 25.40%.
Generalicemos la fórmula para hallar la tasa múltiple:
iE = (1+i1) * (1+i2) – 1
i1 = la tasa en UVR o la tasa en el extranjero si estamos negociando con otro país
i2 = la tasa de inflación o la tasa de devaluación del peso colombiano frente a la moneda del país extranjero.
También: iE = i1 + i2 + i1 * i2
La anterior fórmula indica que cuando nos endeudamos o invertimos en UVR o en moneda extranjera estamos sometidos a 2 tasas: i1, i2.
El costo de la deuda es igual a la suma de las 2 tasas más el producto de ambas, análogamente sucede cuando invertimos.
Es importante recalcar que cuando nos endeudamos en UVR o en moneda extranjera, no nos debe importar la tasa de cambio. Esto quiere decir que si la unidad vale $100 o $5.000 o $20.000 no es malo o bueno, realmente lo que nos impacta son las tasas de interés, tanto la tasa de inflación que se refleja en la cotización de la unidad, como en la tasa a la cual se pacta la deuda. Si contratamos un crédito de $1.000.000 cuando la unidad vale $100, nos están prestando 10.000 UVR las que debemos de pagar con 11.400 UVR, cotizadas a $110, si seguimos trabajando con las tasas propuestas en el ejemplo, para un total a pagar de $1.254.000. Ahora, si el préstamo del millón nos lo efectúan cuando la unidad vale $20.000, el crédito otorgado es de 50 UVR (1.000.000 ÷ 20.000) las cuales se deben de cancelar con 57 UVR (50*1.14) al valor de $22.000 que es el precio alcanzado por cada unidad (20.000*1.10) y de nuevo el resultado de la cantidad a pagar es de $1.254.000 (57 * 22.000).
En resumen para tomar la decisión de endeudamiento es indispensable conocer el valor de la tasa de interés efectiva y compararla con otras alternativas de financiación, sin importar el sistema de amortizar la deuda inicialmente. Lógicamente el flujo de caja, la rentabilidad del proyecto y las condiciones de la entidad son también elementos determinantes en tomar la decisión final.
o Tasa de interés continua: Ya se definió la tasa de interés efectiva y se menciono que la periodicidad o frecuencia de conversión anual es igual a 1. La frecuencia de conversión anual puede ser muy grande, por ejemplo que tienda a infinito y en este caso se llama tasa de interés continua.
Elaboremos el siguiente ejercicio para aclarar un poco lo mencionado:
Dada una tasa nominal anual del 24%, hallar la tasa de interés efectiva para las diferentes periodicidades.
Periodicidad :
Tasa de interés efectiva:
Anual, P = 1
24%
Semestral, P = 2
25,44%
Mensual, P = 12
26.82%
Diaria, P = 365
27.11%
Hora, P = 8760 27
12%
En la anterior tabla hemos exagerado la periodicidad de la tasa, hasta mencionar la hora vencida. Para esta caso tan extremo ( no se si alguna persona la conoce), creo que ya llegamos al limite y por mas que se aumente la periodicidad no se alcanzara un valor mayor que una tasa efectiva del 27.12%, sea cual sea el tamaño de esta frecuencia de conversión anual. Realicemos una simple demostración que nos confirme lo mencionado:
FA = FB
FA: Valor futuro de un valor presente al cabo de un período anual, a una tasa de interés efectiva iE, invertido en A.
FB: Valor futuro de un valor presente del mismo monto del invertido en A, a una tasa nominal anual cuya frecuencia de conversión tiende a infinito.
5. ECUACIONES DE VALOR O ECUACIONES DE EQUIVALENCIA
Importancia fundamental reviste el tema de las ecuaciones de valor para comprender el concepto del valor del dinero en el tiempo, los factores de las matemáticas financieras, los sistemas de amortización de deudas y los criterios para evaluar proyectos de inversión y alternativas operacionales.
5.1. CONCEPTO DE ECUACIÓN DE VALOR
Un conjunto de obligaciones, que pueden ser deudas y pagos o ingresos y egresos, con vencimientos en ciertas fechas pueden ser convertidas en otros conjuntos de obligaciones equivalentes pero, con vencimientos en fechas diferentes. Un conjunto de obligaciones equivalente en una fecha también lo será en cualquier otra fecha.
5.1.1. Ilustración del concepto de Ecuación de Valor:
Ejemplo
Una obligación de $1.000 debe ser cancelada dentro de un año, si tasa es del 2% periódica mensual, determine el valor a cancelar o valor futuro al cabo de los 12 meses. El diagrama de caja, de acuerdo a lo enunciado, seria el siguiente:
Si se quiere hallar el valor de F, simplemente se aplica la formula: F = P * (1+i)N F = 1.000 * (1+.02)12 =1.268.24 El anterior resultado se calculó trasladando el valor de P = 1.000 que esta en 0 a N = 12, donde esta el valor futuro F. Esta simple operación indica que no se puede comparar cantidades de dinero que estén en diferentes fechas, para que la comparación se pueda realizar las cantidades de dinero deberán estar en la misma fecha.
Nota: La comparación de cantidades de dinero equivale a sumar o restar.
El ejercicio también puede resolverse trasladando el valor futuro F que esta en N = 12, a la fecha actual 0, donde esta el valor presente P = 1.000, de la siguiente forma:
P = F * (1+i)-N
1.000=F*(1+.02)-12
F=1.268.24
El resultado de F es el mismo que se había determinado, cuando la comparación se efectuó en N = 12.
También podemos determinar el valor de F, comparando (sumando o restando) las cantidades en cualquier fecha, pero siempre y cuando estén en la misma fecha. Por ejemplo elijamos la fecha de comparación en 6, para hacer el cálculo entonces debemos trasladar P= 1.000 de la fecha 0 a la fecha 6 y F de la fecha N =12 a la fecha 6.
1.000*(1+.02)6 = F*(1+.02)-6
Despejamos F:
F = 1.000*(1+.02)6*(1+.02)6
F = 1.000*(1+.02)12 = 1.268,24
El resultado, de nuevo arroja un valor de $1.268,24, independiente de la fecha que se halla elegido como fecha de comparación.
El pago de 1.268.24, contiene amortización a capital de 1.000 e intereses por la suma de 268.24.
El ejercicio anterior resume lo que se conoce como Ecuación de Valor.
La metodología en el establecimiento de la ecuación, es la siguiente:
Determinar la tasa de interés periódica: Tanto la entidad de crédito como los acreedores deben pactar la tasa de interés a la cual se efectuara la operación. Si se evalúan proyectos de inversión, los inversionistas debe definir la tasa mínima atractiva de retorno.
Determinar la fecha de comparación o fecha focal: En el ejemplo en referencia, se ha determinado que se puede establecer cualquier fecha de comparación y la que se escoja siempre será valida. No hay restricción para la selección de la fecha focal, pero si se requiere que sea solamente una, necesariamente no tiene que coincidir con la fecha de pago y la fecha de comparación es necesario establecerla como requisito indispensable por el concepto del valor del dinero a través del tiempo.
Establecer la ecuación de valor: Tanto las deudas y pagos, ingresos y egresos se trasladan a la fecha focal establecida previamente, comparándolos.
Ejemplo.
Regresemos al ejemplo anterior de la deuda de $1.000 y supongamos que al final del sexto mes deseamos efectuar un abono de $500 y el saldo pagadero al final del mes 12. El diagrama de flujo de caja ahora es el siguiente:
Una forma de solucionar el ejercicio y sin necesidad de acudir al concepto de ecuación de valor, podría ser trasladar la deuda inicial de $1.000 al final del sexto mes y restar el abono de $500 (esta resta es posible por encontrarse ambas cantidades en la misma fecha), el saldo adeudado ahora trasladarlo al final del mes doce, de la siguiente manera, y este será el valor del pago a efectuar y que cancela totalmente la deuda.
1.000*(1+.02)6 = 1.126.16.
Valor adeudado al final del mes sexto.
1.126.16-500 = 626.16
Saldo adeudado después de efectuar el abono al final del sexto mes.
626.16*(1+.02)6 = 705.16
Valor del pago a realizar para cancelar totalmente la deuda al final del mes doce.
Veamos ahora la solución utilizando el concepto de Ecuación de Valor:
De acuerdo a la metodología indicada, debemos definir la tasa de interés que para nuestro ejemplo es del 2%, luego escoger la fecha focal, que como se menciono puede ser cualquiera. Elaboraremos el ejercicio con diferentes fechas focales, para comprobar que el resultado es el mismo, independientemente de la fecha seleccionada.
Fecha focal =0:
1.000=500*(1+.02)-6+A*(1+.02)-12
Fecha focal =3:
1.000*(1+.02)33=500*(1+.02)-3+A*(1.02)-9
Fecha focal =9:
1.000*(1+.02)9=500*(1.02)3+A*(1+.02)-3
Fecha focal = 15:
1.000*(1.02)15=500*(1+.02)9+A*(1+.02)3
Como se puede comprobar, el valor del pago al final del mes doce es de $705.16, independientemente de la fecha focal seleccionada. Hay que resaltar que la ecuación planteada en los casos anteriores corresponde exactamente a la misma ecuación, realmente lo que hemos realizado ha sido afectar ambos lados de la ecuación por un factor que es el resultado de elevar el binomio (1+i) por una potencia que es la diferencia entre las fechas focales. Por ejemplo, la ecuación cuando se resolvió el valor de A con fecha focal 15, es la ecuación planteada con fecha focal 9, multiplicada ambos lados por factor (1+.02)6. 6 la potencia del binomio es la diferencia entre las fechas focales. Una deuda o préstamo puede ser cancelado de múltiples formas. La forma como se cancela o amortiza un crédito no afecta la tasa de interés, la tasa será la misma, lo que se afecta será el monto de los intereses. Los intereses serán altos cuando se amortiza el capital mas lentamente, el monto de los intereses bajos cuando se amortiza el capital mas rápidamente, pero todos los sistemas de amortización serán equivalentes cuando prevalezcan las condiciones de la tasa.
5.2 SISTEMAS DE PAGO DE DE DEUDAS
Dos o más sistemas de amortización(pago periodico) de deudas serán equivalentes, si tanto el valor presente P y el valor futuro F de esos sistemas sean equivalentes entre sí, nos estamos refiriendo al esquema de pagos únicos. En nuestro ejercicio, todos los sistemas para pagar la deuda son equivalentes, si el valor presente, pago único, de la deuda es de P= 1.000 y el valor futuro, pago único, F = 1.268.24.
En el ejemplo anterior, si trasladamos el valor del pago de $500 que ocurre al final del sexto mes, hasta el final del mes doce y lo sumamos con el saldo a pagar allí de 705.16, el resultado será de 1.268.24.
F = 500*(1+.02)6+705.16=1.268.24.
En este ejemplo, se ha cancelado un préstamo de 1.000 a una tasa del 2% periódica mensual con dos pagos, el primero que ocurre al final del sexto mes por 500 y el segundo al final del mes doce por un valor de 705.16. Este plan de pagos, como se demostró es equivalente a un pago de 1.268.24 al final del mes doce. Lógicamente, si efectuamos los dos pagos, el monto de los intereses es menor que si el préstamo se cancelara al final del plazo de doce meses, pero seremos insistentes, son sistemas de amortización equivalentes.
Ejemplo.
Continuemos con nuestro ejercicio del préstamo de 1.000. Ahora deseamos cancelar el préstamo con dos pagos iguales, que ocurran al final del sexto y doceavo mes con la misma tasa periódica de interés y que sea un sistema de amortización equivalente a los anteriormente obtenidos.
Denominemos los pagos iguales R y elaboremos el diagrama de flujo de caja respectivo:
Para encontrar el valor de los pagos R, establecemos la ecuación de valor con fecha focal 0, porque se nos acaba de ocurrir, recordemos que puede ser cualquiera.
1.000 = R*(1+.02)-6+ R*(1+.02)-12
Despejando, obtenemos el valor de R = 596.49.
Este sistema de dos pagos iguales, es equivalente a los anteriormente descritos. Para comprobar la equivalencia, hallamos el pago único futuro de estos pagos, el cual debe ser igual a F = 1.268.24.
F = 596.49*(1+.02)6+596.49=1.268.24.
Ejemplo.
Ahora, diseñemos un sistema de amortización para cancelar el préstamo de $1.000 en cuotas iguales al final de cada mes, con la condición que el valor presente de las cuotas sea igual a P = $1.000 y el valor futuro sea de F = 1.268.24.
Elaboremos el flujo de caja de la siguiente manera:
Para encontrar el valor de R, se establece la ecuación de valor con la correspondiente fecha focal, que en este caso se escogió en 0:
1000 = R(1+0.02)-1 + R(1+0.02)-2 + R(1+0.02)-3 + ... + R(1+0.02)-12
Al despejar el valor de R:
R = $94.56
El préstamo de $1.000 se amortiza con pagos mensuales iguales y al final de cada mes por el valor de $94.56. Se puede haber establecido cualquier otra fecha focal y el resultado debe ser totalmente idéntico.
En resumen, hemos diseñado cuatro sistemas de amortización equivalentes, como podrían haber sido muchos, en los cuales la sumatoria de la amortización a capital es de P=1.000 y la suma de los intereses pagados depende de lo rápido o lento que se amortice el capital.
Por lo tanto para seleccionar el sistema de amortizar un crédito o préstamo, hay que tener muy presentes los siguientes criterios:
El flujo de caja o liquidez, sin importar el sistema de amortización que se elija.
Las condiciones que impone la entidad que concede el crédito.
La tasa de retorno o de oportunidad del inversionista que solicita el crédito. La tasa del crédito deberá ser menor que la tasa de oportunidad de inversionista.
El seguir diseñando sistemas de amortización, como lo hemos efectuado, a veces no tiene sentido por lo dispendioso y poco práctico. Debemos de diseñar herramientas que nos permitan resolver rápidamente estos problemas y de eso se trata el próximo capitulo. Pero de todas maneras estos nuevos conceptos y herramientas se basaran en el concepto de Ecuación de Valor.
Para abordar la Ingenieria Económica se hace necesario revisar algunos conceptos e ideas, de las matemátcas financieras las cuales será herramientas utiles para comprender ciertas realidades y hacer comparaciones.
1.1. DEFINICIÓN
Puede entenderse las Matemáticas financieras como: Conjunto de herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión.
Puede entenderse las Matemáticas financieras como: Conjunto de herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la viabilidad o factibilidad económica y financiera de los proyectos de inversión.
1.2. CONCEPTOS BÁSICOS
1.2.1. Factibilidad Económica:
La factibilidad económica de un proyecto de inversión tiene que ver con la bondad de invertir recursos económicos en una alternativa de inversión, sin importar la fuente de estos recursos. En esta fase de la evaluación, se analiza la decisión de inversión independiente del dueño del proyecto, se enfatiza únicamente en los recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el origen de estos.
1.2.2. Factibilidad Financiera:
En la factibilidad financiera del proyecto de inversión se evalúa el retorno para los dueños. En esta fase del proyecto lo que interesa es determinar si la inversión efectuada exclusivamente por el dueño, obtiene la rentabilidad esperada por él.
1.2.3. Factibilidad Económica versus Factibilidad Financiera:
En el ámbito de la evaluación de proyecto es de vital importancia comprender que a cada decisión de inversión, corresponde una decisión de financiación. Con la condición fundamental de que la rentabilidad de la inversión, debe satisfacer la estructura financiera de la empresa. La decisión de inversión, como ya se menciono, tiene que ver con la estructura operativa de la empresa y con una de las funciones de la Administración financiera que es definir donde invertir.
1.2.1. Factibilidad Económica:
La factibilidad económica de un proyecto de inversión tiene que ver con la bondad de invertir recursos económicos en una alternativa de inversión, sin importar la fuente de estos recursos. En esta fase de la evaluación, se analiza la decisión de inversión independiente del dueño del proyecto, se enfatiza únicamente en los recursos comprometidos en la empresa, excluyendo el origen de estos.
1.2.2. Factibilidad Financiera:
En la factibilidad financiera del proyecto de inversión se evalúa el retorno para los dueños. En esta fase del proyecto lo que interesa es determinar si la inversión efectuada exclusivamente por el dueño, obtiene la rentabilidad esperada por él.
1.2.3. Factibilidad Económica versus Factibilidad Financiera:
En el ámbito de la evaluación de proyecto es de vital importancia comprender que a cada decisión de inversión, corresponde una decisión de financiación. Con la condición fundamental de que la rentabilidad de la inversión, debe satisfacer la estructura financiera de la empresa. La decisión de inversión, como ya se menciono, tiene que ver con la estructura operativa de la empresa y con una de las funciones de la Administración financiera que es definir donde invertir.
Para poder tomar la decisión de invertir hay necesidad de definir los indicadores de gestión financiera que permitan establecer si la empresa cumple con su objetivo financiero básico y si los proyectos de inversión que enfrenta cotidianamente la acercan a su meta. La decisión de financiación, otra de las decisiones fundamentales de la administración, tienen que ver con la estructura financiera de la empresa o proyecto, esta estructura se refiere a los dueños de los recursos (deuda o recursos propios), la cual tiene un costo que se denomina el costo de capital promedio ponderado. Al evaluar la estructura financiera del proyecto, interesa diseñar indicadores financieros que permitan identificar si los inversionistas o dueños de la empresa están alcanzando la meta financiera, la cual en empresas que tengan ánimo de lucro, es ganar más dinero ahora y en el futuro.
1.2.4. Valor Económico Agregado:
Solamente, cuando la rentabilidad de la inversión supere el costo de capital promedio ponderado, se generara valor económico para los propietarios de la empresa. Únicamente en este evento los inversionistas están satisfaciendo sus expectativas y alcanzando sus objetivos financieros.
Solamente, cuando la rentabilidad de la inversión supere el costo de capital promedio ponderado, se generara valor económico para los propietarios de la empresa. Únicamente en este evento los inversionistas están satisfaciendo sus expectativas y alcanzando sus objetivos financieros.
1.2.5. Proyecto de Inversión:
Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de obtener retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo. Cualquier criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de inversión, siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de efectivo cumplan con las siguientes condiciones: Recuperación de las inversiones, recuperar o cubrir los gastos operacionales y además obtener una rentabilidad deseada por los dueños del proyecto, de acuerdo a los niveles del riesgo de este. El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. Cuanto más alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor será la tasa de rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se desprende la naturaleza subjetiva de este tipo de estimaciones.
Oportunidad de efectuar desembolsos de dinero con las expectativas de obtener retornos o flujos de efectivo (rendimientos), en condiciones de riesgo. Cualquier criterio o indicador financiero es adecuado para evaluar proyectos de inversión, siempre y cuando este criterio permita determinar que los flujos de efectivo cumplan con las siguientes condiciones: Recuperación de las inversiones, recuperar o cubrir los gastos operacionales y además obtener una rentabilidad deseada por los dueños del proyecto, de acuerdo a los niveles del riesgo de este. El riesgo del proyecto se describe como la posibilidad de que un resultado esperado no se produzca. Cuanto más alto sea el nivel de riesgo, tanto mayor será la tasa de rendimiento y viceversa, de este nivel de riesgo se desprende la naturaleza subjetiva de este tipo de estimaciones.
2. FLUJOS DE EFECTIVO O RENDIMIENTOS
Hay que aclarar que se utilizarán los conceptos de rendimiento e interés indiferentemente. El concepto de rendimiento se manejará cuando se evalúen proyectos de inversión (inversionista versus proyecto) y el concepto de interés cuando se haga referencia a decisiones con el sector financiero.
Hay que aclarar que se utilizarán los conceptos de rendimiento e interés indiferentemente. El concepto de rendimiento se manejará cuando se evalúen proyectos de inversión (inversionista versus proyecto) y el concepto de interés cuando se haga referencia a decisiones con el sector financiero.
Cuando se realiza una inversión, hay dos alternativas para percibir los rendimientos. Una opción es retirar los rendimientos periódicamente y la otra alternativa podría ser de efectuar la reinversión periódica de los intereses o rendimientos. En la primera opción se genera una función lineal, siempre y cuando los intereses no se reinviertan durante un determinado lapso de tiempo, este proceso se denomina en términos nominales o lineales y de acá se desprende el concepto de tasa nominal que mas adelante se analiza.
Los rendimientos, como se mencionó, se pueden reinvertir durante el periodo de referencia y entonces se generara una función exponencial que también se denomina efectiva, este proceso genera el concepto de tasa efectiva anual, que también se estudiara mas adelante.
Los rendimientos, como se mencionó, se pueden reinvertir durante el periodo de referencia y entonces se generara una función exponencial que también se denomina efectiva, este proceso genera el concepto de tasa efectiva anual, que también se estudiara mas adelante.
2.1 RENDIMIENTOS NOMINALES (INTERÉS SIMPLE)
2.1.1 Conceptos Básicos:
* Valor presente, P: Es la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora en un proceso en el cual, los intereses o rendimientos se retiran periódicamente con la condición que no se reinviertan. La característica fundamental es que la obtención de nuevos rendimientos se obtienen siempre sobre esta inversión que permanece constante.
* Tasa de interés periódica, i: Corresponde a la tasa de interés que se obtiene en cada periodo sobre la inversión o préstamo inicial. * Tiempo, N: Son los periodos durante los cuales se invierte el valor presente P.
* Valor futuro, F: El valor futuro de un valor presente es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final del plazo de la transacción. El valor futuro es la suma del valor presente y los intereses devengados durante el tiempo en que se efectuó la inversión. A continuación se ilustra alguna de las ecuaciones que permita efectuar cálculos de los rendimientos nominales:
2.1.1 Conceptos Básicos:
* Valor presente, P: Es la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora en un proceso en el cual, los intereses o rendimientos se retiran periódicamente con la condición que no se reinviertan. La característica fundamental es que la obtención de nuevos rendimientos se obtienen siempre sobre esta inversión que permanece constante.
* Tasa de interés periódica, i: Corresponde a la tasa de interés que se obtiene en cada periodo sobre la inversión o préstamo inicial. * Tiempo, N: Son los periodos durante los cuales se invierte el valor presente P.
* Valor futuro, F: El valor futuro de un valor presente es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final del plazo de la transacción. El valor futuro es la suma del valor presente y los intereses devengados durante el tiempo en que se efectuó la inversión. A continuación se ilustra alguna de las ecuaciones que permita efectuar cálculos de los rendimientos nominales:
Interés Simple = P * i * N
F=P + P * i * N
F=P(1 + i * N)
(1+ i * N): Es el factor que convierte un valor presente (P) en un valor futuro(F) en donde los intereses no se reinvierten.
F=P + P * i * N
F=P(1 + i * N)
(1+ i * N): Es el factor que convierte un valor presente (P) en un valor futuro(F) en donde los intereses no se reinvierten.
Con la formula del valor futuro F, se pueden determinar los valores: presente, la tasa de interés y los periodos de tiempo. En este texto no se pretende efectuar dichos cálculos, pero el lector interesado los puede consultar en el texto de “Fundamentos de Matemática Financieras “, de este autor.
2.2 RENDIMIENTOS EFECTIVOS (INTERÉS COMPUESTO)
2.2.1 Conceptos básicos
2.2.1 Conceptos básicos
* Valor presente, P: corresponde a la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora, a la tasa de interés i y durante N periodos.
* Tasa de interés periódica, i: Es la tasa que se obtiene durante cada periodo de conversión de los intereses a capital.
* Periodos de conversión, N: Tratándose de rendimientos efectivos, N son los periodos de conversión durante los cuales se invierte o se presta P.
* Valor futuro, F: El valor futuro F, es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final de la transacción. Equivale a un pago único futuro en N, equivalente a un pago único presente ahora.
2.2.2. Esquema de pagos únicos equivalentes
A continuación se ilustra el esquema de pagos únicos a través del diagrama de flujo de caja:
Los intereses obtenidos periódicamente se han reinvertido o capitalizado hasta el final de los períodos de conversión.
(1 + i ) N: Se conoce como el factor que convierte un pago único presente en un pago único futuro equivalente a una tasa de interés i y en N periodos.
Las aplicaciones del esquema de pagos únicos:
1. Dados los valores del valor presente, la tasa de interés y los periodos de conversión, hallar el valor futuro.
Ejemplo 1.
Hallar el valor futuro de $1 millón, invertido a una tasa del 5% trimestral al cabo de 2 años. Definamos los valores de las variables así:
P = 1.000.000
i = 5% periódico trimestral
N = 8 periodos trimestrales.
Nota: La periodicidad de la tasa de interés debe coincidir con la periodicidad del plazo de tiempo, en este caso trimestres y donde la tasa de interés determina la periodicidad.
Luego elaboramos el diagrama de flujo de caja y definimos la formula que determina el valor futuro:
F = 1.000.000 * (1+ 0.05)8 = $1.477.455.
El valor futuro de $1.477.455 es equivalente al valor presente de $1.000.000. siempre y cuando los rendimientos generados al 5% trimestral se reinviertan a la misma tasa durante los 8 periodos trimestrales siguientes. La equivalencia en matemáticas financieras supone siempre la reinversion a la tasa de interés periódica.
2. Dados los valores del futuro, la tasa de interés y los periodos de conversión hallar el valor presente.
Ejemplo 2.
Hallar la cantidad de dinero que se debe invertir hoy para disponer de $2.000.000 al final de 3 años, si la tasa de interés es del 2% mensual.
F = 2.000.000
i = 2% mensual
N = 36 meses.
F = P * (1+ i)N , despejamos el valor de P.
P = F * (1+i)- N. (1+ i )-N: Es el factor que convierte un pago único futuro de valor F, en un pago único presente de valor P equivalente.
Diagrama de flujo de caja:
P = 2.000.000 * (1+.02)-36 = $980.446.
Valor presente, P: El valor presente de una cantidad F, es aquel valor P que invertido ahora a una tasa de interés i y en N periodos será igual a F. Lo anterior quiere significar que si se invierten $980.446 ahora en una entidad que paga una tasa del 2% mensual, al cabo de 36 meses se dispone de $2.000.000.
3. Dados los valores: presente, valor futuro y tasa de interés, hallar los periodos de conversión.
Ejemplo 3.
En cuantos meses una inversión de $5.000.000 se duplica, si la tasa de interés es del 1.5% mensual.
P=5.000.000
F=10.000.000
i=1.5% mensual.
De F = P * (1 + i)N , despejamos el valor de N.
N = log ( F / P ) ÷ log ( 1+ i ).
N = log2 ÷ log1.015 = 47 meses aproximadamente.
4. Dados los valores: presente, valor futuro y de los periodos de conversión, hallar la tasa de interés periódica.
Ejemplo 4.
Una inversión de $2 Millones, realizada hace 15 años alcanza hoy un valor de $70 Millones. Por consiguiente determinar tasa de interés mensual, trimestral, semestral y anual.
P = 2.000.000
F = 70.000.000.
Mensual:
Trimestral:
Semestral:
Anual:
N = 180
N = 60
N = 30
N = 15
i=1.99%
i=6.10%
i=12.58%
i=26.75%
Para hallar la tasa de interés periódica, despejamos de F = P * ( 1 + i )N el valor de i.
i = ( F / P )1/ N-1.
Las tasas periódicas del ejemplo son tasas equivalentes, lo anterior significa que si la tasa periódica mensual del 1.99% se reinvierte, al cabo del trimestre se dispone de la tasa del 6.10%, al final del semestre de 12.58% y al final del año de 26.75%. Así con las otras tasas en las cuales se obtiene una tasa periódica anual del 26.75%, en todos los casos.
__
3.1 CONCEPTO DE TASAS EQUIVALENTES DE INTERÉS
Dos o más tasas periódicas de interés son equivalentes, si con diferente periodicidad producen el mismo interés efectivo al final de cualquier periodo. La costumbre es considerar este periodo de un año.
3.1.1 Tasa nominal anual de interés (%nom)
La tasa nominal anual es la tasa que se obtiene al final de un periodo anual siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente no se reinviertan. Por lo tanto tasa nominal anual constituye una función lineal al cabo del periodo anual.
La tasa nominal se denomina por la letra J, y es igual a la tasa periódica i multiplicada por los periodos en que se puede convertir a capital en el periodo anual.
J = %nom = i * p
o P: Frecuencia de conversión anual, es el numero de veces que se puede convertir el interés a capital en un año. Si la frecuencia de conversión anual es igual a uno, la tasa nominal anual corresponde a la tasa efectiva anual. El valor de p puede ser igual a 1, mínimo valor que puede tomar y en este caso corresponde a la efectiva anual y también pude ser mayor a 1, hasta tender a infinito que se llamara tasa de interés continua.
Si : P = 1 Tasa efectiva anual
P = 2 Tasa nominal anual, semestre vencido
P = 4 Tasa nominal anual, trimestre vencida
P = 12 Tasa nominal anual, mes vencida
P = 365 Tasa nominal anual, día vencido
P tiende a infinito: Tasa de interés continuo.
3.1.2. Tasa efectiva anual de interés(%efe)
Corresponde a la tasa que se obtiene al final de un periodo anual, siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente se reinviertan a la tasa de interés periódica pactada inicialmente. Por lo tanto la tasa efectiva anual es una función exponencial de la tasa periódica.
Observaciones a tener muy presentes:
· La tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningún denominador, porque es una función exponencial.
· Tasas nominales equivalentes entre si, siempre tendrán la misma tasa de interés efectiva anual. La tasa efectiva anual, por lo tanto se constituye en un criterio para tomar decisiones, para invertir lógicamente escoger aquella entidad que ofrezca la mas alta(sin consideraciones por ahora del riego) y para endeudarse elegir aquella tasa que términos efectivos sea la menor.
· La tasa efectiva, corresponde a la tasa periódica anual y tendrá sentido siempre y cuando sea periódica vencida.
· Las tasas nominales anuales solamente admiten como divisor su propia periodicidad. Por lo tanto para hallar una tasa periódica se divide la tasa nominal en su frecuencia de conversión anual, i = J ÷ p = %nom ÷ p.
3.2. Conversión de tasas de interés. Casos.
3.2.1 Caso 1
Dada una tasa nominal anual, hallar una tasa efectiva anual.
Ejemplo 5.
Dada una tasa del 24% nominal anual mes vencida, hallar una tasa efectiva anual.
Cuando se enuncia una tasa nominal del 24% nominal m.v., se puede conceptuar que se toma el periodo de un año y se divide en doce periodos, en tantos periodos cuantos indique la periodicidad, y por lo tanto a cada periodo mensual, en este caso, le corresponde la tasa periódica del 2% mensual. Esta tasa periódica mensual puede no reinvertirse, entonces el resultado al cabo del periodo anual será del 24% nominal, pero esta tasa se puede reinvertir y si es así, la tasa obtenida al final del periodo anual será efectiva.
En este ejercicio, nos interesa demostrar el procedimiento para obtener la formula para hallar la tasa efectiva a partir de la tasa nominal. Empezamos del supuesto que para hallar la equivalencia de las tasas, siempre se considera un periodo anual y el propósito es obtener el mismo valor futuro al cabo del año, trabajando con cualquiera de las tasas ya que estas son equivalentes.
Por lo tanto, el valor futuro de una cantidad de dinero (P) invertida a una tasa periódica del 2% mensual al cabo del año debe ser igual al valor futuro de la misma cantidad de dinero invertida a la tasa efectiva anual que no se conoce al final del año.
P * (1+ip)N = P * (1+ie).
Despejamos ie
ie = (1+ip)N-1
ie = (1+ip)p-1
Del ejemplo, entonces podemos hallar la tasa efectiva:
ie=(1+.24/12)12-1=.2684=26.84%.
3.2.2 Caso 2
Dada una tasa efectiva anual, hallar una tasa nominal anual.
Ejemplo 6.
Dada una tasa efectiva del 24% anual, hallar la tasa nominal mes vencida equivalente.
Este caso trata del ejemplo anterior y para hallar la formula simplemente despejamos la que se estableció en esa oportunidad.
ip = (1+ie)1/p-1
J = %nom = ((1+ie)1/p-1)*p
Del enunciado del ejemplo:
% nom = ((1+.24)1/12-1)*12=21.71% Nominal mes vencido.
ip = 21.71%/12=1.81% Mes vencida.
3.2.3 Caso 3
Dada una tasa nominal anual, hallar otra tasa nominal anual equivalente pero con diferente periodicidad.
Ejemplo 7.
Siempre que se desee hallar la equivalencia entre tasas nominales, lo mas expedito será hallar la tasa efectiva equivalente a la nominal dada y luego se determina la nominal equivalente a esa efectiva encontrada.
Dada una tasa del 24% nominal mes vencida, hallar la tasa nominal trimestre vencida equivalente.
Como se menciono, se encuentra la tasa efectiva equivalente al 24% nominal mes vencida:
ie = (1+0.24/12)12-1= 26.82%. Luego se establece la tasa nominal equivalente a esta efectiva:
%nom = ((1+0.2684)1/4-1)*4 = 24.48% nominal anual trimestre vencida.
Lo anterior lo hicimos invocando el concepto de que tasa nominales equivalentes entre sí, tienen la misma tasa de interés efectiva anual.
4. TIPOS DE TASAS DE INTERÉS
o Tasa de interés periódica vencida, ip: Esta tasa es la que se obtiene durante cada periodo y se establece dividiendo la tasa nominal entre los periodos de conversión en el periodo anual, i = j / p.
o Tasa nominal anual de interés, J: Los rendimientos periódicos devengados a la tasa de interés i es posible que no se reinviertan y si es así, se obtiene la tasa nominal anual, como se ha mencionado. J = ip * p.
o Tasa efectiva anual, ie : Si los rendimientos generados periódicamente se reinvierten al final del año, se obtiene la tasa efectiva anual. ie =(1+ip )p–1.
o Tasa de interés periódica anticipada, ia : Hasta ahora solo se ha efectuado mención a las tasas periódicas vencidas, pero a veces las tasas se liquidan anticipadamente.
Cuando se solicita un préstamo los intereses pueden ser cobrados de dos formas:
Intereses vencidos: El desembolso es de P y dentro de un periodo se debe pagar el valor futuro de P * ip , por lo tanto la tasa cobrada es de ip.
Intereses anticipados: Cuando los intereses son calculados anticipadamente, se solicita un préstamo de valor P y el desembolso es de P-P*ia=P*(1-ia) , el cual debe ser cancelado en un periodo con un valor futuro, el cual equivale al valor solicitado en préstamo, que en este caso corresponde a P. Por la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro del esquema de pagos únicos, tenemos:
F = P * (1+ip)N
P= P * (1-ia) * (1+ip)N.
Despejando la tasa de interés periódica, ip:
ip=i / (1-ia). Esta formula permite determinar la tasa de interés periódica vencida equivalente a la tasa de interés periódica anticipada dada.
Análogamente, podemos obtener la formula para hallar la tasa periódica anticipada dada la tasa periódica vencida, así: ia = ip / (1+ip).
Reemplazando el valor de la tasa periódica vencida en función de la tasa periódica anticipada en la formula de la tasa efectiva anual, obtenemos el valor de esta, en función de la tasa periódica anticipada.
Si ie = (1+ip)p-1, ip= ia / (1-ia) entonces: ie= (1-ia)-p-1.
Ejemplo 7.
Dada una tasa nominal del 36% trimestre anticipada, determinar el valor de la tasa nominal trimestre vencida.
Cuando la tasa se enuncia nominal anual trimestre anticipado, se quiere significar que el año se divida en cuatro periodos y que al principio de cada periodo se cobrara la cantidad de $9, si suponemos que sea $100 el valor solicitado en préstamo, como la tasa nominal significa no reinversion, entonces el valor cobrado es de $36.
Aplicando las formulas descritas, tenemos que:
ia = Nominal anticipada periodicidad. ia=36%÷4=9%.
ip = ia(1-ia)=.09÷0,91=9,89% periódica vencida.
ie =(1+ip)p-1 En función de la tasa periódica vencida
ie = (1+.0989)4-1=42.58%.
ie = (1-ia)-p-1 En función de la tasa periódica anticipada.
ie = (1-.09)-4-1=42.58%.
o Tasa de interés pasiva y tasa de interés activa: La tasa de captación del sistema financiero Colombiano se denomina DTF, corresponde a la tasa promedio del sistema incluyendo bancos y corporaciones y recibe el nombre de tasa pasiva. La costumbre, a veces, es expresarla en términos nominales trimestre anticipado. La tasa de colocación, la tasa a la cual los bancos y corporaciones prestan el dinero captado se realiza por lo general al DTF mas el margen de intermediación y esta tasa resultante se llama la tasa activa.
o Tasa de interés real, iR: Hasta ahora no se había tenido en cuenta el fenómeno de la inflación en el concepto de las tasas de interés. La tasa de interés real, es la tasa de interés a la cual se le ha descontado el efecto de la inflación. Entendiéndose la inflación, como el fenómeno económico, caracterizado por la variación positiva y sostenida en el nivel general de precios de la economía y cuya consecuencia es la perdida del poder adquisitivo del dinero frente a la canasta de bienes y servicios.
Supongamos que se invierten ahora la suma de $1 millón a una tasa del 20% efectiva durante un año. Al encontrar el valor futuro de $1.200.000 al cabo del período anual, no podemos concluir que nuestra riqueza se ha incrementado en este 20%. El dinero (los billetes) han dejado de ser la medida de la riqueza. Para que una medida cumpla con su estricta función, debe tener ciertas condiciones, como su invariabilidad, servir como referencia, ser universal y precisamente nuestros pesos Colombianos no tienen estos atributos, porque nuestra economía todos los días enfrenta el fenómeno inflacionario. Para conocer realmente el aumento o disminución de nuestra riqueza tenemos que disponer de una adecuada medida de esta riqueza. Una buena medida a nivel personal, es la capacidad de adquirir bienes y servicios.
De nuestro ejemplo, imaginemos que los bienes que podemos adquirir hoy, cada uno vale $1.000., con el $1 Millón de pesos, de los cuales disponemos, ahora podemos adquirir 1.000 bienes. Nos tendremos que preguntar entonces, cuantos bienes podemos comprar dentro de un año con $1.200.000. Si estimamos una inflación del 10% en el año, cada bien tendrá un precio de $1.100 y con el dinero que disponemos alcanzaremos a comprar 1091 bienes ($1.200.000/$1.100). Concluimos que nuestra capacidad de compra se incremento en el 9.1% aproximadamente. Un error usual, consiste en restar a la tasa en términos corrientes la tasa de inflación, olvidándonos que los intereses corrientes sufren también del efecto de la inflación.
La siguiente formula, permite calcular la tasa de interés en términos reales:
ir=((1+ Tasa corriente) ÷ (1+ Tasa inflación))-1.
o Tasa de interés múltiple: Cuando sobre una inversión o préstamo actúan simultáneamente dos tasas, la tasa resultante se conoce como la tasa múltiple de interés. En Colombia hay dos casos de tasas de interés múltiple: Uno de estos casos, es el crédito para vivienda en Unidades de valor real (UVR) o anteriormente crédito de las corporaciones de ahorro y vivienda en unidades de poder adquisitivo constantes (UPAC) y el otro caso es cuando se efectúan negociaciones con el extranjero.
Veamos a continuación, la ilustración del funcionamiento de la tasa múltiple de interés en un crédito para vivienda en UVR.:
Supongamos un crédito para vivienda por la suma de $1 Millón de pesos adquirido en UVR. Este préstamo esta sometido al efecto de dos tasas: Por un lado a la tasa en UVR y por otro lado a la tasa de la inflación. Para nuestra demostración la tasa en UVR es del 14% efectiva anual y la tasa de inflación del 10% anual. Además supondremos que el valor de la UVR en la fecha del desembolso sea de $120.
La corporación financiera, en este caso no concede el crédito en pesos sino en unidades y sobre estas unidades prestadas aplica la respectiva tasa. El numero de unidades desembolsadas se calculan de acuerdo al valor de la unidad en el momento de efectuar el desembolso. En la fecha de pago se calcula las unidades adeudadas y se convierten a pesos según el valor de la unidad en esa fecha. El valor de la unidad se ha indexado por la tasa de inflación en el periodo respectivo de duración del crédito.
El anterior proceso es mas simple observarlo con los diagramas de flujo de caja:
Llamemos:
Pu = valor presente del préstamo en UVR
iu = tasa de interés periódica en UVR
Fu = valor futuro del préstamo en UVR UVR
El préstamo en unidades es de 8.333.33, el cual se cancela con un valor futuro de 9.500 unidades.
TVP= Tasa de cambio del valor de la unidad en la fecha del desembolso
INF = Tasa de infracción en el período.
TVF = Tasa de cambio del valor futuro de la unidad en la fecha de pago
El valor de la unidad ascenderá a $132, en el momento de pagar el crédito. Para conocer la tasa de interés efectiva, elaboremos un flujo de caja en pesos y establezcamos la tasa:
F$ = P$ (1+iE)N
9.500 x 132 = 8.333.33 x (1 + iE)
8.333.33 x (1+0.14) x 120x (1+0.10) = 8.333.33 x (1+iE)
(1+0.14) * (1+0.10) = (1+iE) * iE = (1+0.14) x (1+0.10) – 1
iE = 25.40%.
Generalicemos la fórmula para hallar la tasa múltiple:
iE = (1+i1) * (1+i2) – 1
i1 = la tasa en UVR o la tasa en el extranjero si estamos negociando con otro país
i2 = la tasa de inflación o la tasa de devaluación del peso colombiano frente a la moneda del país extranjero.
También: iE = i1 + i2 + i1 * i2
La anterior fórmula indica que cuando nos endeudamos o invertimos en UVR o en moneda extranjera estamos sometidos a 2 tasas: i1, i2.
El costo de la deuda es igual a la suma de las 2 tasas más el producto de ambas, análogamente sucede cuando invertimos.
Es importante recalcar que cuando nos endeudamos en UVR o en moneda extranjera, no nos debe importar la tasa de cambio. Esto quiere decir que si la unidad vale $100 o $5.000 o $20.000 no es malo o bueno, realmente lo que nos impacta son las tasas de interés, tanto la tasa de inflación que se refleja en la cotización de la unidad, como en la tasa a la cual se pacta la deuda. Si contratamos un crédito de $1.000.000 cuando la unidad vale $100, nos están prestando 10.000 UVR las que debemos de pagar con 11.400 UVR, cotizadas a $110, si seguimos trabajando con las tasas propuestas en el ejemplo, para un total a pagar de $1.254.000. Ahora, si el préstamo del millón nos lo efectúan cuando la unidad vale $20.000, el crédito otorgado es de 50 UVR (1.000.000 ÷ 20.000) las cuales se deben de cancelar con 57 UVR (50*1.14) al valor de $22.000 que es el precio alcanzado por cada unidad (20.000*1.10) y de nuevo el resultado de la cantidad a pagar es de $1.254.000 (57 * 22.000).
En resumen para tomar la decisión de endeudamiento es indispensable conocer el valor de la tasa de interés efectiva y compararla con otras alternativas de financiación, sin importar el sistema de amortizar la deuda inicialmente. Lógicamente el flujo de caja, la rentabilidad del proyecto y las condiciones de la entidad son también elementos determinantes en tomar la decisión final.
o Tasa de interés continua: Ya se definió la tasa de interés efectiva y se menciono que la periodicidad o frecuencia de conversión anual es igual a 1. La frecuencia de conversión anual puede ser muy grande, por ejemplo que tienda a infinito y en este caso se llama tasa de interés continua.
Elaboremos el siguiente ejercicio para aclarar un poco lo mencionado:
Dada una tasa nominal anual del 24%, hallar la tasa de interés efectiva para las diferentes periodicidades.
Periodicidad :
Tasa de interés efectiva:
Anual, P = 1
24%
Semestral, P = 2
25,44%
Mensual, P = 12
26.82%
Diaria, P = 365
27.11%
Hora, P = 8760 27
12%
En la anterior tabla hemos exagerado la periodicidad de la tasa, hasta mencionar la hora vencida. Para esta caso tan extremo ( no se si alguna persona la conoce), creo que ya llegamos al limite y por mas que se aumente la periodicidad no se alcanzara un valor mayor que una tasa efectiva del 27.12%, sea cual sea el tamaño de esta frecuencia de conversión anual. Realicemos una simple demostración que nos confirme lo mencionado:
FA = FB
FA: Valor futuro de un valor presente al cabo de un período anual, a una tasa de interés efectiva iE, invertido en A.
FB: Valor futuro de un valor presente del mismo monto del invertido en A, a una tasa nominal anual cuya frecuencia de conversión tiende a infinito.
5. ECUACIONES DE VALOR O ECUACIONES DE EQUIVALENCIA
Importancia fundamental reviste el tema de las ecuaciones de valor para comprender el concepto del valor del dinero en el tiempo, los factores de las matemáticas financieras, los sistemas de amortización de deudas y los criterios para evaluar proyectos de inversión y alternativas operacionales.
5.1. CONCEPTO DE ECUACIÓN DE VALOR
Un conjunto de obligaciones, que pueden ser deudas y pagos o ingresos y egresos, con vencimientos en ciertas fechas pueden ser convertidas en otros conjuntos de obligaciones equivalentes pero, con vencimientos en fechas diferentes. Un conjunto de obligaciones equivalente en una fecha también lo será en cualquier otra fecha.
5.1.1. Ilustración del concepto de Ecuación de Valor:
Ejemplo
Una obligación de $1.000 debe ser cancelada dentro de un año, si tasa es del 2% periódica mensual, determine el valor a cancelar o valor futuro al cabo de los 12 meses. El diagrama de caja, de acuerdo a lo enunciado, seria el siguiente:
Si se quiere hallar el valor de F, simplemente se aplica la formula: F = P * (1+i)N F = 1.000 * (1+.02)12 =1.268.24 El anterior resultado se calculó trasladando el valor de P = 1.000 que esta en 0 a N = 12, donde esta el valor futuro F. Esta simple operación indica que no se puede comparar cantidades de dinero que estén en diferentes fechas, para que la comparación se pueda realizar las cantidades de dinero deberán estar en la misma fecha.
Nota: La comparación de cantidades de dinero equivale a sumar o restar.
El ejercicio también puede resolverse trasladando el valor futuro F que esta en N = 12, a la fecha actual 0, donde esta el valor presente P = 1.000, de la siguiente forma:
P = F * (1+i)-N
1.000=F*(1+.02)-12
F=1.268.24
El resultado de F es el mismo que se había determinado, cuando la comparación se efectuó en N = 12.
También podemos determinar el valor de F, comparando (sumando o restando) las cantidades en cualquier fecha, pero siempre y cuando estén en la misma fecha. Por ejemplo elijamos la fecha de comparación en 6, para hacer el cálculo entonces debemos trasladar P= 1.000 de la fecha 0 a la fecha 6 y F de la fecha N =12 a la fecha 6.
1.000*(1+.02)6 = F*(1+.02)-6
Despejamos F:
F = 1.000*(1+.02)6*(1+.02)6
F = 1.000*(1+.02)12 = 1.268,24
El resultado, de nuevo arroja un valor de $1.268,24, independiente de la fecha que se halla elegido como fecha de comparación.
El pago de 1.268.24, contiene amortización a capital de 1.000 e intereses por la suma de 268.24.
El ejercicio anterior resume lo que se conoce como Ecuación de Valor.
La metodología en el establecimiento de la ecuación, es la siguiente:
Determinar la tasa de interés periódica: Tanto la entidad de crédito como los acreedores deben pactar la tasa de interés a la cual se efectuara la operación. Si se evalúan proyectos de inversión, los inversionistas debe definir la tasa mínima atractiva de retorno.
Determinar la fecha de comparación o fecha focal: En el ejemplo en referencia, se ha determinado que se puede establecer cualquier fecha de comparación y la que se escoja siempre será valida. No hay restricción para la selección de la fecha focal, pero si se requiere que sea solamente una, necesariamente no tiene que coincidir con la fecha de pago y la fecha de comparación es necesario establecerla como requisito indispensable por el concepto del valor del dinero a través del tiempo.
Establecer la ecuación de valor: Tanto las deudas y pagos, ingresos y egresos se trasladan a la fecha focal establecida previamente, comparándolos.
Ejemplo.
Regresemos al ejemplo anterior de la deuda de $1.000 y supongamos que al final del sexto mes deseamos efectuar un abono de $500 y el saldo pagadero al final del mes 12. El diagrama de flujo de caja ahora es el siguiente:
Una forma de solucionar el ejercicio y sin necesidad de acudir al concepto de ecuación de valor, podría ser trasladar la deuda inicial de $1.000 al final del sexto mes y restar el abono de $500 (esta resta es posible por encontrarse ambas cantidades en la misma fecha), el saldo adeudado ahora trasladarlo al final del mes doce, de la siguiente manera, y este será el valor del pago a efectuar y que cancela totalmente la deuda.
1.000*(1+.02)6 = 1.126.16.
Valor adeudado al final del mes sexto.
1.126.16-500 = 626.16
Saldo adeudado después de efectuar el abono al final del sexto mes.
626.16*(1+.02)6 = 705.16
Valor del pago a realizar para cancelar totalmente la deuda al final del mes doce.
Veamos ahora la solución utilizando el concepto de Ecuación de Valor:
De acuerdo a la metodología indicada, debemos definir la tasa de interés que para nuestro ejemplo es del 2%, luego escoger la fecha focal, que como se menciono puede ser cualquiera. Elaboraremos el ejercicio con diferentes fechas focales, para comprobar que el resultado es el mismo, independientemente de la fecha seleccionada.
Fecha focal =0:
1.000=500*(1+.02)-6+A*(1+.02)-12
Fecha focal =3:
1.000*(1+.02)33=500*(1+.02)-3+A*(1.02)-9
Fecha focal =9:
1.000*(1+.02)9=500*(1.02)3+A*(1+.02)-3
Fecha focal = 15:
1.000*(1.02)15=500*(1+.02)9+A*(1+.02)3
Como se puede comprobar, el valor del pago al final del mes doce es de $705.16, independientemente de la fecha focal seleccionada. Hay que resaltar que la ecuación planteada en los casos anteriores corresponde exactamente a la misma ecuación, realmente lo que hemos realizado ha sido afectar ambos lados de la ecuación por un factor que es el resultado de elevar el binomio (1+i) por una potencia que es la diferencia entre las fechas focales. Por ejemplo, la ecuación cuando se resolvió el valor de A con fecha focal 15, es la ecuación planteada con fecha focal 9, multiplicada ambos lados por factor (1+.02)6. 6 la potencia del binomio es la diferencia entre las fechas focales. Una deuda o préstamo puede ser cancelado de múltiples formas. La forma como se cancela o amortiza un crédito no afecta la tasa de interés, la tasa será la misma, lo que se afecta será el monto de los intereses. Los intereses serán altos cuando se amortiza el capital mas lentamente, el monto de los intereses bajos cuando se amortiza el capital mas rápidamente, pero todos los sistemas de amortización serán equivalentes cuando prevalezcan las condiciones de la tasa.
5.2 SISTEMAS DE PAGO DE DE DEUDAS
Dos o más sistemas de amortización(pago periodico) de deudas serán equivalentes, si tanto el valor presente P y el valor futuro F de esos sistemas sean equivalentes entre sí, nos estamos refiriendo al esquema de pagos únicos. En nuestro ejercicio, todos los sistemas para pagar la deuda son equivalentes, si el valor presente, pago único, de la deuda es de P= 1.000 y el valor futuro, pago único, F = 1.268.24.
En el ejemplo anterior, si trasladamos el valor del pago de $500 que ocurre al final del sexto mes, hasta el final del mes doce y lo sumamos con el saldo a pagar allí de 705.16, el resultado será de 1.268.24.
F = 500*(1+.02)6+705.16=1.268.24.
En este ejemplo, se ha cancelado un préstamo de 1.000 a una tasa del 2% periódica mensual con dos pagos, el primero que ocurre al final del sexto mes por 500 y el segundo al final del mes doce por un valor de 705.16. Este plan de pagos, como se demostró es equivalente a un pago de 1.268.24 al final del mes doce. Lógicamente, si efectuamos los dos pagos, el monto de los intereses es menor que si el préstamo se cancelara al final del plazo de doce meses, pero seremos insistentes, son sistemas de amortización equivalentes.
Ejemplo.
Continuemos con nuestro ejercicio del préstamo de 1.000. Ahora deseamos cancelar el préstamo con dos pagos iguales, que ocurran al final del sexto y doceavo mes con la misma tasa periódica de interés y que sea un sistema de amortización equivalente a los anteriormente obtenidos.
Denominemos los pagos iguales R y elaboremos el diagrama de flujo de caja respectivo:
Para encontrar el valor de los pagos R, establecemos la ecuación de valor con fecha focal 0, porque se nos acaba de ocurrir, recordemos que puede ser cualquiera.
1.000 = R*(1+.02)-6+ R*(1+.02)-12
Despejando, obtenemos el valor de R = 596.49.
Este sistema de dos pagos iguales, es equivalente a los anteriormente descritos. Para comprobar la equivalencia, hallamos el pago único futuro de estos pagos, el cual debe ser igual a F = 1.268.24.
F = 596.49*(1+.02)6+596.49=1.268.24.
Ejemplo.
Ahora, diseñemos un sistema de amortización para cancelar el préstamo de $1.000 en cuotas iguales al final de cada mes, con la condición que el valor presente de las cuotas sea igual a P = $1.000 y el valor futuro sea de F = 1.268.24.
Elaboremos el flujo de caja de la siguiente manera:
Para encontrar el valor de R, se establece la ecuación de valor con la correspondiente fecha focal, que en este caso se escogió en 0:
1000 = R(1+0.02)-1 + R(1+0.02)-2 + R(1+0.02)-3 + ... + R(1+0.02)-12
Al despejar el valor de R:
R = $94.56
El préstamo de $1.000 se amortiza con pagos mensuales iguales y al final de cada mes por el valor de $94.56. Se puede haber establecido cualquier otra fecha focal y el resultado debe ser totalmente idéntico.
En resumen, hemos diseñado cuatro sistemas de amortización equivalentes, como podrían haber sido muchos, en los cuales la sumatoria de la amortización a capital es de P=1.000 y la suma de los intereses pagados depende de lo rápido o lento que se amortice el capital.
Por lo tanto para seleccionar el sistema de amortizar un crédito o préstamo, hay que tener muy presentes los siguientes criterios:
El flujo de caja o liquidez, sin importar el sistema de amortización que se elija.
Las condiciones que impone la entidad que concede el crédito.
La tasa de retorno o de oportunidad del inversionista que solicita el crédito. La tasa del crédito deberá ser menor que la tasa de oportunidad de inversionista.
El seguir diseñando sistemas de amortización, como lo hemos efectuado, a veces no tiene sentido por lo dispendioso y poco práctico. Debemos de diseñar herramientas que nos permitan resolver rápidamente estos problemas y de eso se trata el próximo capitulo. Pero de todas maneras estos nuevos conceptos y herramientas se basaran en el concepto de Ecuación de Valor.
Contrato de Aprendizaje
Aqui se definirá el contrato de aprendizaje de acuerdo a las normas de la unefa y la
revisión Profesor-Estudiantes.
Ya estan publicadas los contenido por catedra en otras entradas, pronto completaremos
el plan de evaluacion.
revisión Profesor-Estudiantes.
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